Sumários
Logicismo (5): o paradoxo de Russell
8 Fevereiro 2023, 15:30 • Ricardo Santos
Frege
e a teoria lógica das extensões. Que tipo de objecto é a extensão de um
conceito? O princípio de que a extensão de F é idêntica à extensão de G quando
os objectos que caem sob F caem e os objectos que caem sob G são os mesmos (Lei
Fundamental V). Este princípio implica que todo o conceito tem uma extensão e
conduz à contradição: a extensão do conceito ser russelliano é e não é russelliana (em que um objecto x é russelliano quando existe pelo menos
um conceito F tal que x é a extensão
de F e x não cai sob F). Explosão: de
uma contradição tudo se segue.
Logicismo (4)
6 Fevereiro 2023, 15:30 • Ricardo Santos
Definição
de “2” e demonstração de “1 precede 2”. Definição de “número natural”. Análise
desta definição. A axiomatização da aritmética. Os axiomas de Dedekind-Peano
usando apenas “zero”, “precede” e “número natural”. Definição da função sucessor.
Definições recursivas das funções adição e multiplicação. Demonstração
puramente lógica dos axiomas de Dedekind-Peano. A existência de infinitos
números naturais.
Logicismo (3)
1 Fevereiro 2023, 15:30 • Ricardo Santos
Razões
de Frege para pensar que os números são objectos, e não conceitos. Mas que
objectos? Três definições importantes: definição de “o número de Fs é o mesmo
que o número de Gs” (conhecida como princípio de Hume), definição explícita de “o
número de Fs” e definição de “número cardinal”. Definição de “zero” e de “um”. Demonstração
de “0 é distinto de um”. Definição de “precede (imediatamente)”. Demonstração
de “0 precede 1”.
Logicismo (2)
30 Janeiro 2023, 15:30 • Ricardo Santos
Superior
capacidade expressiva da lógica de segunda ordem. Exemplos: princípios da
indiscernibilidade de idênticos e da identidade de indiscerníveis; a frase de
Geach-Kaplan. A definição (recursiva) dos quantificadores numéricos. Para
Frege, os quantificadores são predicados de segundo nível, que referem
conceitos de segundo nível. Os conceitos vistos como funções. Serão os números
conceitos de segundo nível?
Logicismo (1)
25 Janeiro 2023, 15:30 • Ricardo Santos
Caracterização do conhecimento matemático: aprioridade, necessidade e natureza abstracta dos seus objectos. Como é possível este conhecimento? A resposta de Kant: a matemática (aritmética e geometria) é constituída por juízos sintéticos a priori, fundados na intuição pura do tempo e do espaço (formas da sensibilidade humana). A discordância de Frege: a aritmética e a análise real são analíticas. Revisão da noção de analiticidade. A tese logicista: a matemática é redutível à lógica (por meio de definições apropriadas). A nova lógica de Frege. Lógica proposicional e lógica de predicados (com identidade) de segunda ordem.