Sumários

Gestão da Avaliação - 2

23 Março 2020, 14:00 • António José Teiga Zilhão

Tele-aconselhamento com vista à redacção dos ensaios finais (resposta a dúvidas, fornecimento de indicações bibliográficas, dissipação de confusões conceptuais, etc.)

Gestão da Avaliação - 1

16 Março 2020, 14:00 • António José Teiga Zilhão

Fixação dos temas e títulos dos ensaios finais. Elucidações metodológicas a respeito dos mesmos. Indicações bibliográficas relevantes (via internet).

I. Teoria dos Conjuntos - 5

9 Março 2020, 14:00 • António José Teiga Zilhão

III. Cardinais

III.1. Equipolência e cardinalidade. Definição de relação de equipolência. Demonstração de que a equipolência é uma relação de equivalência na classe dos conjuntos. Definição de cardinal como um objecto de natureza não especificada que se associa a um conjunto, de tal modo que dois cardinais são iguais se e somente se os conjuntos aos quais eles são associados são equipolentes. Comparação entre esta definição de cardinal e a definição de Frege, de acordo com a qual um número cardinal seria uma classe de equivalência de uma dada classe, módulo a relação de equipolência. Demonstração de que a definição de Frege tem como consequência que, pelo axioma da união, os números cardinais teriam que ser classes próprias, o que tornaria impossível que pudessem formar-se conjuntos de cardinais. A cardinalidade de um conjunto como uma medida do seu tamanho.

III.2. Relações de ordem entre cardinais. Definição da relação menor-do-que-ou-igual-a entre cardinais à custa do conceito de uma injecção entre conjuntos. Demonstração de que um cardinal a é menor-do-que-ou-igual-a um cardinal b se e somente se o conjunto do qual b é um cardinal tiver um subconjunto do qual a é o cardinal. Demonstração de que a relação menor-do-que-ou-igual-a, definida na classe dos cardinais, é reflexiva, transitiva e anti-simétrica, i.e., é uma ordem parcial ampla na classe dos cardinais.

III.3. Cardinais para números naturais. Definição de um cardinal para (ou correspondente a) um número natural. Demonstração, por indução em n e redução ao absurdo, que, se a ₁, a ₂,…,a _n forem objectos quaisquer, então não existe uma injecção do conjunto que tem a ₁, a ₂,…,a _n como elementos para um qualquer seu subconjunto próprio. Demonstração de que, para quaisquer números naturais n e m, se m for menor ou igual a n, então o cardinal correspondente a m é menor-do-que-ou-igual-a ao cardinal correspondente a n. Demonstração de que, para quaisquer números naturais n e m, se m for diferente de n, então o cardinal correspondente a m é diferente do cardinal correspondente a n.

I. Teoria dos Conjuntos - 4

2 Março 2020, 14:00 • António José Teiga Zilhão

II. Relações e Funções (continuação)

II.5. Propriedades de relações definidas numa classe M: reflexividade, não-reflexividade, irreflexividade, simetria, não-simetria, assimetria, anti-simetria, transitividade, não-transitividade, intransitividade, conectividade, desconectividade e equivalência. II.6. Relações de equivalência e classes de equivalência; a relação de identidade. II.7. Demonstração de que: i) as classes de equivalência de m e de n módulo R em M são iguais se e somente se m se encontrar na relação R com n em M; ii) qualquer membro x de M pertence a uma e uma só classe de equivalência módulo R em M. II.8. Relações de ordem: definições de ordem parcial estrita, ordem parcial ampla, ordem total estrita e ordem total ampla. II.9. Operações sobre funções

I. Teoria dos Conjuntos - 3

17 Fevereiro 2020, 14:00 • António José Teiga Zilhão

O Princípio da Indução Matemática (PIM). Caracterização geral e alcance dedutivo do mesmo. Exemplo de uma demonstração por indução matemática (Pascal 1653).

II. Relações e Funções (continuação). II.2. Relações n-árias definidas numa classe A como subclasses de potências cartesianas de ordem n da classe A. II.2.1. A condição da funcionalidade. II.2.1.1.Funções como classes de pares ordenados que satisfazem a condição da funcionalidade. II.2.1.2. Conceitos de grafo, domínio, contradomínio, aplicação, sobrejecção, injecção e bijecção. II.3. Quando é que relações ou funções são conjuntos? II.3.1. Demonstração de que é condição necessária e suficiente para que um produto cartesiano entre duas classes não vazias seja um conjunto que essas classes não vazias sejam conjuntos; II.3.1.1. Generalização (por indução matemática) da demonstração anterior para o caso de qualquer produto cartesiano entre um qualquer número n de classes não vazias; II.3.2. Corolário da demonstração anterior: qualquer relação n-ária (com n>0) definida num conjunto M é, ela própria, um conjunto; II.3.3. Aplicação da demonstração mencionada em II.3.1. ao caso das funções para demonstrar que é condição necessária e suficiente para que uma função f seja um conjunto que tanto o seu domínio como o seu contradomínio sejam conjuntos. II.4. Axioma da substituição.