I. Paradoxos de Zenão - 4

8 Fevereiro 2022, 12:30 • António José Teiga Zilhão

Cardinalidades infinitas

Dois conjuntos têm a mesma cardinalidade se for possível estabelecer entre eles uma correspondência 1-1. Todos aqueles conjuntos que podem ser colocados numa correspondência 1-1 com o conjunto dos números naturais têm a mesma cardinalidade que o conjunto dos números naturais. É o caso de conjuntos como o conjunto dos pares positivos, o conjunto dos ímpares positivos, o conjunto dos números quadrados, etc. A estes conjuntos de cardinalidade infinita chama-se 'conjuntos denumeráveis'. Demonstração de Cantor de que, aparências em contrário, o conjunto dos números racionais é também um conjunto denumerável. 

Demonstração de que a cardinalidade dos números naturais não é a única cardinalidade infinita que existe. A demonstração procede por meio da exposição do seguinte elenco de demonstrações de Cantor: i) demonstração de que o conjunto dos reais entre 0 e 1, tendo uma cardinalidade infinita, não é denumerável; de um tal conjunto diz-se que ele é não denumerável ou supra-denumerável; ii) demonstração de que um qualquer segmento linear de comprimento finito tem a mesma cardinalidade que qualquer outro segmento linear de comprimento finito; iii) demonstração de que qualquer segmento linear de comprimento finito tem a mesma cardinalidade que o contínuo. 

Conclusão: para além da cardinalidade infinita dos conjuntos denumeráveis (do conjunto dos naturais, do conjunto dos racionais, etc.) existe pelo menos uma outra cardinalidade infinita distinta desta: a cardinalidade infinita dos conjuntos não denumeráveis ou supra-denumeráveis (do conjunto dos reais (o Contínuo) ou de qualquer subconjunto deste que constitua um segmento linear de comprimento finito).
  
Conclusão: a compreensão da estrutura supra-denumerável do contínuo linear subjaz à resolução dos paradoxos de Zenão.