Sumários
III. Paradoxos Semânticos - 4
25 Março 2025, 15:00 • António José Teiga Zilhão
Paradoxos Semânticos - 4
4. Paradoxos Sorites (cont.)
4.6. Forma lógica dos argumentos sorites alternativa à forma lógica do sorites condicional: o sorites por indução matemática.
4.6.1. Estrutura do paradoxo decorrente de um argumento sorites por indução matemática: a base da indução (que consiste na atribuição do predicado a um caso que obviamente o satisfaz); o passo indutivo, que afirma que uma colecção de objectos que satisfaça um predicado sorítico não deixa de o satisfazer por se adicionar ou se subtrair um elemento à colecção (o que também parece ser intuitivamente verdadeiro) e a obviamente falsa conclusão por indução matemática (uma forma de inferência obviamente válida) que consiste na atribuição do predicado a uma colecção que obviamente não o satisfaz.
4.6.2. O sorites de fronteira: da falsidade da conclusão obtida por indução matemática de um argumento sorites e da verdade da base indutiva do mesmo, tem que inferir-se a falsidade do passo indutivo. Ora, se o passo indutivo é falso, então a contraditória do passo indutivo é verdadeira. Mas, a contraditória do passo indutivo é uma asserção que afirma existir uma fronteira perfeitamente nítida a separar a extensão da anti-extensão de um qualquer predicado sorítico. Logo, é verdade que existe uma fronteira nítida a separar a extensão da anti-extensão de um qualquer predicado sorítico. Todavia, ninguém está em condições de indicar onde se encontram tais fronteiras. A asserção em causa parece então ser simultaneamente dedutivamente verdadeira e empiricamente falsa.
4.7. Respostas possíveis aos paradoxos sorites:
4.7.1. A possibilidade de gerar tais paradoxos seria logicamente irrelevante; de facto, numa linguagem logicamente apropriada, os predicados vagos encontrar-se-iam excluídos à partida; portanto, a geração de tais paradoxos numa linguagem natural nada mais mostraria senão o carácter imprestável de tais linguagens para o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo (Frege; Russell).
4.7.2. Dada a validade do princípio da indução matemática e a verdade intuitiva da base da indução num argumento sorites, a conclusão falsa do mesmo só poderia ser gerada se o passo indutivo fosse falso; logo, o passo indutivo é falso. A negação do passo indutivo consiste, por sua vez, numa asserção existencial que indica que há um ponto de fronteira que separa de modo nítido a extensão de um qualquer predicado supostamente vago da sua extensão-complemento; o problema que os paradoxos sorites poriam em evidência seria, assim, um problema epistémico (apesar de essa fronteira existir, nós desconhecê-la-íamos) e não um problema semântico (e.g., Williamson; Sorensen).
4.7.3. Dada a validade do princípio da indução matemática e a verdade pressuposta do passo indutivo num qualquer argumento sorites, a conclusão falsa do mesmo só poderia ser gerada se a base da indução fosse falsa; logo, a base da indução é falsa. Assim, os predicados ditos vagos não teriam qualquer aplicação semântica genuína, isto é, nenhuma colecção seria tal que a predicação incondicional de um tal predicado à mesma geraria uma proposição verdadeira. Por sua vez, o diagnóstico de falsidade da base da indução deixar-se-ia justificar de maneira independente do seguinte modo: dado que todo o argumento sorites que progride por adição possui uma contraparte dual que retrogride por subtracção (e vice-versa), a qual extrai uma conclusão contrária da da sua contraparte, a conjunção de ambas as contrapartes mostraria que a base da indução de um qualquer argumento sorites teria necessariamente que ser falsa (e.g., Dummett).
4.7.4. A solução supervaloracionista para os paradoxos sorites:
4.7.4.1. Noções de extensão, anti-extensão e penumbra de um predicado vago.
4.7.4.2. Introdução do conceito de uma precisão de um predicado vago.
4.7.4.3. As condições de consistência a que qualquer precisão de um predicado vago deve obedecer.
4.7.4.4.. Introdução de supervalores de verdade em associação com a introdução de precisões de predicados vagos: superverdade (i.e., verdadeiro em todas as precisões), superfalsidade (i.e., falso em todas as precisões) e valor intermediário (i.e., verdadeiro nalgumas precisões e falso noutras previsões).
4.7.4.5. A tese de que a semântica de um predicado vago seria determinada pela totalidade das suas precisões.
4.7.4.6. A solução supervaloracionista para os paradoxos sorites: o passo indutivo (universal afirmativo) de um argumento sorites é, de facto, falso (no sentido em que é, na realidade, superfalso); mas nenhuma das condicionais particulares nas quais o passo indutivo se deixa desdobrar é superfalsa: muitas delas são verdadeiras (no sentido em que são superverdadeiras) e todas as outras são verdadeiras nalgumas precisões e falsas noutras, não sendo, por isso, nenhuma delas superfalsa. Por outro lado, da superfalsidade do passo indutivo segue-se uma proposição existencial (particular negativa) superverdadeira; mas nenhuma das conjunções particulares nas quais a mesma se deixa desdobrar é superverdadeira: muitas delas são falsas (no sentido em que são superfalsas) e todas as outras são verdadeiras nalgumas precisões e falsas noutras, não sendo, por isso, nenhuma delas superverdadeira; logo, é ilegítimo inferir-se da superverdade da contraditória do passo indutivo que teria que existir uma fronteira particular a separar a extensão da anti-extensão de um qualquer predicado vago; na realidade, diferentes fronteiras existirão em diferentes precisões do mesmo, mas nenhuma delas será comum a todas as precisões. O paradoxo resultaria, então, do facto de que teríamos a tendência (errada) para considerar que a superverdade da contraditória do passo indutivo implicaria a superverdade de alguma das conjunções particulares nas quais a mesma se deixa desdobrar, ao mesmo tempo que nos aperceberíamos que carecemos de todo de uma justificação para considerar como superverdadeira qualquer uma dessas conjunções particulares (e.g., Keefe).
III. Paradoxos Semânticos - 3
21 Março 2025, 15:00 • António José Teiga Zilhão
3. Paradoxo de Curry
3.1. Embora o Paradoxo do Mentiroso seja tipicamente apresentado como um paradoxo originado pela interpretação intuitiva do conceito de verdade, as construção frásicas que o originam usam sempre e apenas o conceito de falsidade.
3.2. Num contexto lógico clássico, a falsidade de uma frase p deixa-se definir ou como a negação da verdade de p ou como a verdade da negação de p. Seja como for, a negação está, por sua vez, sempre presente na definição da falsidade a partir da verdade.
3.3. Pode então colocar-se a questão: será possível gerar um paradoxo semântico afim do Paradoxo do Mentiroso sem usar na sua formulação os conceitos de falsidade ou negação? Curry mostrou que sim.
3.4. A intuição de Curry: A frase P, tal que P = 'Se P é V, então o Pai Natal existe', na qual não ocorrem nem a falsidade nem a negação, mas apenas a verdade e a implicação material. Questão: qual é o valor de verdade de P?
3.5. O Paradoxo de Curry: se P for falsa, então, pela definição verofuncional da implicação material, segue-se que a sua antecedente é verdadeira e a sua conclusão falsa; mas, se a antecedente de P é V, então P é V; logo, se P for F, P é V, o que é uma contradição. Portanto, P não pode ser F. Mas, se P não pode ser F, então P tem que ser V. Ora, se P é V, então a antecedente de P (que afirma de P que é V) tem também que ser V. Mas, se tanto P, enquanto condicional material, como a sua antecedente, são V, então segue-se, da verdade de ambas, a verdade da consequente de P (por Modus Ponens); logo, por um lado, P tem que ser verdadeira e, por outro lado, a verdade de P permite a dedução de uma óbvia falsidade: o Pai Natal existe!
3.6. Deste modo, o Paradoxo de Curry torna claro que é possível formular paradoxos semânticos do género do Paradoxo do Mentiroso sem usar de forma essencial na frase paradoxal a falsidade ou a negação; neste sentido, quaisquer hipotéticas sugestões de solução para o Paradoxo do Mentiroso que se predisponham a alterar o entendimento clássico (bivalente) da negação têm que ter em mente que essa alteração só por si não será suficiente - para que tais soluções possam vingar, também a implicação material terá que ser redefinida, o que poderá vir a revelar-se ser extremamente problemático.
4. Paradoxos Sorites
4.1. Falakros e Sorites na Grécia clássica (tal como expostos por Eubulides de Mileto).
4.2. Tal como formulados na sua versão clássica, os argumentos Falakros e Sorites são, sem dúvida, geradores de perplexidade, mas não são necessariamente paradoxos.
4.3. O carácter paradoxal de Falakros e Sorites emerge apenas quando os mesmos são reconstruídos modernamente de tal forma que exibam uma forma lógica específica. Falakros e Sorites como exemplos mais conhecidos de toda uma família de paradoxos.
4.4. A forma lógica mais comum exibida na reconstrução moderna destes argumentos: o Sorites condicional.
4.4.1. Estrutura de um Sorites condicional.
4.5. Qualquer argumento Sorites condicional tem uma versão positiva e uma versão negativa.
4.5.1. Qualquer argumento Sorites tem uma versão que progride por adição e uma versão que retrogride por subtracção.
III. Paradoxos Semânticos - 2
18 Março 2025, 15:00 • António José Teiga Zilhão
2. Paradoxo do Mentiroso - 2
2.7. A estratégia tarskiana para solucionar o Paradoxo do Mentiroso: diagnosticando-se a existência de uma incompatibilidade entre os princípios da lógica clássica e a definição intuitiva de verdade, é necessário intervir sobre esta para a compatibilizar com aqueles; 2.7.1. A solução tarskiana para o Paradoxo do Mentiroso: construção de uma hierarquia aberta de linguagens e metalinguagens, tais que o primeiro nível da hierarquia (L0) não contenha qualquer predicado de verdade e que cada linguagem de nível n acima de 0 contenha um predicado de verdade distinto cujo âmbito de aplicação sejam as frases da linguagem de nível n-1 da hierarquia; 2.7.2. Demonstração de que, no âmbito de uma tal hierarquia, uma frase que pretenda instanciar o paradoxo do mentiroso é, na realidade falsa (mas não contraditória), uma vez que atribui a si própria no nível n um predicado que não pode ser satisfeito por nenhuma frase do nível n. O paradoxo do mentiroso fica assim dissolvido.
2.8. Objecções à solução tarskiana para o Paradoxo do Mentiroso; 2.8.1. A objecção do excesso de relativismo (e.g., Blackburn) - a solução de Tarski apenas definiria, de forma independente, os predicados 'verdadeiro-em-L0' em L1, 'verdadeiro-em-L1' em L2, 'verdadeiro-em-L2', em L3, etc., mas nada faria para tornar mais clara a noção subjacente de verdade, comum a todos estes predicados de todas estas linguagens, a qual continuaria a ser, de algum modo, pressuposta pela nossa compreensão dos mesmos. 2.8.2. A objecção da restrição excessiva (e.g. Kripke) - a solução de Tarski excluiria frases não problemáticas da linguagem natural da extensão de um qualquer dos predicados de verdade de um qualquer nível da hierarquia de linguagens. Dois exemplos: i) o conjunto de frases não paradoxais P e Q, tais que P seria a frase 'Tudo o que a Maria diz é verdadeiro', proferida por José, e Q seria a frase 'Tudo o que o José diz é verdadeiro', proferida por Maria; de acordo com a solução de Tarski, P teria que encontrar-se num nível superior da hierarquia àquele no qual se encontrariam todas as frases proferidas por Maria (incluindo Q); mas Q teria que encontrar-se num nível superior da hierarquia àquele no qual se encontrariam todas as frases de José (incluindo P); portanto, se tais conjuntos de frases fossem permissíveis, os quais nós podemos constatar poderem ser não problematicamente verdadeiros na linguagem natural, gerar-se-ia uma contradição no âmbito da solução tarskiana. ii) A frase intuitivamente verdadeira P, tal que P='P é verdadeira ou é falsa', a qual é uma consequência lógica do princípio da bivalência, resultaria falsa num qualquer nível da hierarquia tarskiana. Na realidade, não só a frase P, mas os próprios princípios lógicos da bivalência e da não-contradição, entendidos enquanto princípios de carácter geral, deixariam de poder contar como verdades universais no âmbito da hierarquia de linguagens proposta por Tarski, o que é de algum modo irónico, dado o desiderato de preservar a integridade da lógica clássica inerente ao projecto tarskiano.
III. Paradoxos Semânticos - 1
14 Março 2025, 15:00 • António José Teiga Zilhão
Paradoxos Semânticos - 1
1. Paradoxo de Grelling
1.1. O Paradoxo de Grelling como uma versão semântica do paradoxo de Russell.
1.1.1. Enunciado do paradoxo: i) divisão dos adjectivos de uma língua em dois grupos distintos: o dos que podem empregar-se correctamente acerca de si próprios (e.g., 'português', 'curto', 'polissilábico') e o dos que não podem empregar-se correctamente acerca de si próprios (e.g., 'inglês', 'longo', 'monossilábico'); ii) caracterização dos primeiros sob a designação 'autológicos' e dos segundos sob a designação 'heterológicos'; iii) geração do paradoxo por meio da formulação da pergunta: 'heterológico é um adjectivo heterológico ou autológico?'; iv) demonstração: se a resposta for "heterológico é heterológico", então heterológico é autológico (i.e., se é heterológico, então não é heterológico); e, se a resposta for "heterológico é autológico", então heterológico é heterológico (i.e., se não é heterológico, então é heterológico); isto é, obviamente, uma contradição.
1.1.2. Diagnóstico: tal como no paradoxo de Russell a geração do paradoxo parecia radicar na possibilidade de se definirem conjuntos por meio de predicados que se referiam a si próprios, também aqui a geração do paradoxo parece radicar na possibilidade de uma linguagem conter expressões adjectivas auto-referentes.
2. Paradoxo do Mentiroso - 1
2.1. Primeiras formulações do paradoxo do mentiroso na Grécia clássica por Epiménides de Cnossos e Eubulides de Mileto. 2.2. Possibilidade de se formular uma versão do paradoxo do mentiroso no contexto da história infantil Pinocchio de Collodi. 2.3. Formulação moderna (e logicamente correcta) do paradoxo: É a frase P, tal que P = 'P é falsa', V ou F? Se a resposta for: 'P é V', então P tem que ser F; e, se a resposta for: 'P é F', então P tem que ser V. A contradição fica assim manifesta. 2.4. Os elementos essenciais que compõem a noção intuitiva de um predicado de verdade aplicado a frases de uma linguagem L capaz de exprimir uma sintaxe básica: i) a sua predicação a respeito de uma qualquer frase de L gera uma frase bem formada de L; ii) o seu comportamento deixa-se capturar pelo chamado 'esquema V', i.e., V('P') sss P; iii) o esquema V condensa duas regras, uma para a introdução, outra para a eliminação, do predicado de verdade, a saber, captura (se P, então V(P)) e soltura (se V(P), então P). 2.5. Demonstração formal de como, a partir das características acima enunciadas do predicado de verdade e de regras lógicas muito básicas (negação, bivalência e princípio da não contradição) o paradoxo do mentiroso se deixa derivar inexoravelmente. 2.6. Possibilidades alternativas de gerar o paradoxo sem recorrer a uma frase (como P acima) envolvendo auto-referência explícita (mas envolvendo, ainda assim, algum tipo de circularidade): i) Geração do paradoxo a partir de duas frases Q e R, a primeira das quais (Q) declara a verdade da segunda (R), e a segunda das quais (R) declara a falsidade da primeira (Q); ii) Geração do paradoxo a partir de compostos booleanos (e.g., de uma frase disjuntiva S cujo primeiro termo afirme a falsidade de S e cujo segundo termo constitua uma contradição manifesta).
II. Paradoxos Dedutivos - 5
11 Março 2025, 15:00 • António José Teiga Zilhão
VII. Paradoxos da Teoria dos Conjuntos - 1
VII. 1. O Paradoxo de Cantor
VII.1.1. O Axioma da Potência da Teoria dos Conjuntos: enunciado. O axioma da potência como instrumento por meio do qual pode obter-se uma infinidade de novos conjuntos a partir de um qualquer conjunto previamente dado (por exemplo, o conjunto vazio, cuja existência é garantida pelo Axioma do Conjunto Vazio).
VII.1.2. O Teorema de Cantor: o conjunto-potência P(M) de um qualquer conjunto M tem uma cardinalidade superior à de M. Demonstração: o cardinal de P(M) é igual a 2 elevado ao cardinal de M.
VII.1.3. O contínuo (C) como o cardinal do conjunto-potência do conjunto dos naturais, i.e., C = 2 elevado a aleph 0.
VII.1.4. Consequências do Teorema de Cantor: i) para além de aleph 0 e de C (aleph 1, se a hipótese do contínuo estiver correcta), terão que existir infinitamente muitos outros cardinais infinitos (aleph 2, aleph 3, etc.); ii) não pode existir o maior dos cardinais infinitos;
VII.1.5. O Paradoxo de Cantor: A. Hipótese: existe o conjunto Universo (U) (i.e., o conjunto de todos os conjuntos); B. Pelo axioma da potência, se U existe, então P(U) tem também que existir. C. Conclusão contraditória: i) o cardinal de P(U) tem que ser superior ao cardinal de U (pelo Teorema de Cantor); ii) o cardinal de P(U) não pode ser superior ao cardinal de U (uma vez que, pela definição de conjunto Universo, P(U), além de um dos elementos de U, é também um subconjunto próprio de U).
VII.1.6. Proposta de Cantor para resolver o paradoxo por ele identificado: i) introdução da distinção entre multiplicidades infinitas e multiplicidades infinitas absolutas; ii) defesa da tese de que, ao contrário das multiplicidades infinitas, as multiplicidades infinitas absolutas não poderiam ser elementos de conjuntos; iii) defesa da tese de que U seria uma multiplicidade infinita absoluta; iv) sendo U uma multiplicidade infinita absoluta, o conjunto P(U) não poderia ser formado (uma vez que, caso pudesse, U teria que ser um dos seus conjuntos-elementos); v) não sendo U nem P(U) conjuntos, a geração do paradoxo ficaria bloqueada.
VII.1.7. Considerações acerca da proposta de Cantor para resolver o Paradoxo de Cantor: esta parece ser claramente ad hoc, uma vez que não parece existir qualquer outra motivação para a introdução da noção de uma multiplicidade infinita absoluta para além da necessidade de evitar o paradoxo.
VII. Paradoxos da Teoria dos Conjuntos - 2
VII.2. O Paradoxo de Russell
VII.2.1. O Axioma da Compreensão (irrestrito) da Teoria (ingénua) dos Conjuntos - enunciado e algumas considerações acerca do mesmo.
VII.2.2. A possibilidade, autorizada pelo Axioma da Compreensão (irrestrito), de gerar conjuntos a partir de quaisquer propriedades representáveis por predicados exprimíveis na linguagem da Teoria dos Conjuntos. Propriedades que não são satisfeitas pelos conjuntos cujos membros satisfazem a propriedade cuja satisfação justifica a sua pertença ao conjunto e propriedades que são satisfeitas pelos conjuntos cujos membros satisfazem a propriedade cuja satisfação justifica a sua pertença ao conjunto. Os conjuntos Q e R, tais que Q é o conjunto cujos membros são aqueles conjuntos que são membros de si próprios e R é o conjunto cujos membros são aqueles conjuntos que não são membros de si próprios.
VII.2.3. A pergunta, simultaneamente legítima e problemática, formulada por Russell: R é ou não é membro de R?
VII.2.4. Demonstração de que qualquer uma das respostas possíveis à pergunta de Russell gera uma contradição: se R for membro de si próprio, então não pode ser membro de si próprio; se R não for membro de si próprio, então tem que ser membro de si próprio.
VII.2.5. Modos possíveis de escapar ao paradoxo de Russell. A solução vencedora: o sistema axiomático Zermelo-Fraenkel no qual o Axioma da Compreensão (irrestrito) é substituído pelo Axioma da Extracção (Aussonderung) ou Axioma da Compreensão Restrito. A impossibilidade de gerar o Paradoxo de Russell no âmbito do sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel.
VII.2.6. Questão que subsiste: existe alguma motivação intrínseca subjacente às restrições impostas pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel para além da necessidade de evitar o paradoxo? Se essa motivação não existir, então a solução de Zermelo-Fraenkel para o Paradoxo de Russell parece ser tão ad hoc quanto a solução de Cantor para o Paradoxo de Cantor.