Sumários
II. Paradoxos Dedutivos - 4
7 Março 2025, 15:00 • António José Teiga Zilhão
V. Algumas Considerações sobre Totalidades Infinitas (cont.)
V.4. Ordens (cont.)
V.4.1. O conceito de uma ordem: uma ordem como uma propriedade de um conjunto M organizado por meio de uma relação R.
V.4.2. A conectividade, a irreflexividade e a transitividade como as propriedades que R tem que ter em M para instituir uma ordem em M.
V.4.3. A ordem "natural" instituída pela relação 'x é menor que y' nos conjuntos dos inteiros, dos pares, dos quadrados, etc. As ordens "naturais" como ordens de tipo ómega. A adjacência como a propriedade principal de uma ordem de tipo ómega. Outras ordens de tipo ómega: *ómega, *ómega+ómega, ómega+1 e 1+*ómega.
V.4.4. A relação 'x é menor que y' institui no conjunto dos racionais, ou num qualquer subconjunto aberto dos racionais, uma ordem distinta das ordens de tipo ómega. Trata-se de uma ordem que não tem a propriedade da adjacência. Em vez disso, ela tem a propriedade da densidade. A uma ordem deste tipo chama-se eta. Apesar da existência desta diferença fundamental na estrutura das ordens ómega e eta, tanto uma como outra são tipos de ordem de conjuntos denumeráveis (i.e., de conjuntos cujo cardinal é aleph 0).
V.4.5. Sendo densa, eta é, todavia, uma ordem com "buracos", i.e., é possível operar cortes num conjunto de racionais organizados por eta que são tais que nem o subconjunto que precede o corte tem um elemento maior, nem o subconjunto que sucede ao corte tem um elemento menor (é o que sucede nos pontos correspondentes a raiz de 2, pi, etc.). No lugar dos cortes ficam, por isso, "buracos".
V.4.6. A relação 'x é menor que y' institui no conjunto dos reais, ou num qualquer subconjunto dos reais, uma ordem que, sendo igualmente densa, é todavia desprovida de buracos, i.e., é tal que um qualquer corte operado no conjunto dos reais organizado pela relação 'x é menor que y' identifica um elemento da ordem que ou é o maior de todos os que o precedem ou é o menor de todos os que lhe sucedem, mas não ambos. A uma tal ordem densa dos reais chama-se lambda. Esta ordem é característica de conjuntos cuja cardinalidade é o contínuo, i.e., de conjuntos super-denumeráveis de cardinalidade superior a aleph 0.
VI. Conclusão
VI.1. Para se conseguir alcançar uma compreensão completa de como resolver os paradoxos de Zenão, tanto sobre o movimento como sobre a pluralidade, é necessário entender a recta real, usada para representar tanto o espaço como o tempo, concebidos como grandezas mensuráveis, como um contínuo linear com uma cardinalidade super-denumerável ou não-denumerável e uma ordenação densa sem "buracos".
VI.2. Demonstração.
VI.2.1. Retorno ao paradoxo da pluralidade, tal como ele é atribuído a Zenão por Simplício. Este sustenta-se em dois axiomas, a saber: Axioma 1- A soma de um número infinito de magnitudes positivas de igual dimensão, por muito pequenas que sejam, tem necessariamente que ser infinita; Axioma 2 - A soma de um qualquer número, finito ou infinito, de magnitudes sem dimensão tem necessariamente que ser zero. A partir destes axiomas, o argumento desenvolve-se da seguinte forma: como qualquer pluralidade tem que ser formada a partir de elementos e como esses elementos têm que ser ou de dimensão positiva ou de dimensão nula, então, dada a possibilidade de dividir infinitamente qualquer dimensão real, tem que existir um número infinito de elementos na composição de qualquer pluralidade. A conclusão paradoxal de Zenão é então a seguinte: como um número infinito de elementos de dimensão positiva gera um tamanho infinito (pelo Axioma 1) e um número infinito de elementos de dimensão nula gera uma dimensão nula (pelo Axioma 2), então, qualquer pluralidade ou é infinitamente grande, o que é impossível, ou é inexistente, o que é absurdo. Fica assim demonstrada, por redução ao absurdo, a impossibilidade de qualquer pluralidade.
VI.2.2. Resolução do paradoxo da pluralidade à luz de V. acima: como o Axioma 1 é indisputável, a resolução do paradoxo tem que ser alcançada mostrando como é possível, aparentemente contra o Axioma 2, ter-se uma definição métrica de comprimento que, sendo consistente, atribua, em simultâneo, a ausência de extensão aos pontos individuais, e comprimentos positivos finitos aos conjuntos de pontos que constituem um segmento linear finito.
VI.2.2.1. O recurso à Teoria dos Conjuntos de Cantor torna possível alcançar um tal desiderato. No âmbito desta, a extensão (ou a sua ausência) é, na realidade, uma propriedade de conjuntos de pontos e não dos seus elementos (os pontos); acerca de um ponto não tem sentido dizer-se que tem ou não tem extensão. É aos conjuntos singulares de pontos que pode atribuir-se a propriedade de serem inextensos. Por outro lado, há que distinguir entre relações de inclusão (entre conjuntos) e relações de pertença (de elementos a conjuntos); os conjuntos singulares de pontos (inextensos) estão contidos em conjuntos de pontos que constituem segmentos lineares finitos, os quais gozam da propriedade da extensão, mas não pertencem aos mesmos. Tal como a extensão, a cardinalidade é também uma propriedade de conjuntos de pontos; mas nem a cardinalidade de um conjunto de pontos que constitui um segmento linear finito é uma função do seu comprimento, nem o comprimento do mesmo é uma função da sua cardinalidade. O comprimento (extensão) de um segmento linear finito definido entre os pontos a e b do contínuo define-se como o número que se obtém com a operação aritmética b-a. Por seu lado, a cardinalidade do mesmo conjunto é determinada pelos seus elementos (os pontos). Dado o carácter super-denumerável do contínuo, a cardinalidade de qualquer segmento da recta real é a mesma que a da totalidade da recta real. Neste sentido, é óbvio que a extensão de um segmento linear finito não mede a cardinalidade do conjunto de pontos que o constitui. Assim sendo, enquanto que a extensão e a compreensividade de um segmento linear finito estão interligadas, a cardinalidade de um conjunto super-denumerável de pontos pertencentes à recta real é independente tanto da sua compreensividade como da sua extensão.
VI.2.2.2. Conclusão: para poderem serem formulados com êxito, os paradoxos de Zenão têm que supor um de dois pressupostos: ou que a recta real é um conjunto infinito de cardinalidade denumerável (caso em que a conclusão absurda decorrente do Axioma 2 acima estaria correcta); ou que o conceito de uma soma aritmética tem aplicação no âmbito de conjuntos infinitos não denumeráveis ou supra-denumeráveis. Mas nenhum destes pressupostos é legítimo; logo, a conclusão dos paradoxos não se segue.
II. Paradoxos Dedutivos - 3
28 Fevereiro 2025, 15:00 • António José Teiga Zilhão
V. Algumas Considerações sobre Totalidades Infinitas.
V.1. Com o desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos por Cantor no final do século XIX, a Matemática adoptou a concepção de infinito concebido como infinito actual. Neste sentido, a solução para os paradoxos de Zenão apoiada na concepção aristotélica de infinito concebido como infinito potencial deixou de ser apelativa.
V. 2. Alguns aspectos fundamentais da teoria das colecções actualmente infinitas:
V.2.1.Dois conjuntos infinitos têm a mesma cardinalidade se, e somente se, for possível estabelecer entre eles uma correspondência biunívoca ou 1-1.
V.2.2. Todos aqueles conjuntos que podem ser colocados numa correspondência 1-1 com o conjunto dos números naturais têm a mesma cardinalidade que o conjunto dos números naturais, i.e., aleph 0.
V.2.3. Distinção entre cardinalidade e compreensividade de um conjunto infinito: um subconjunto próprio infinito de um conjunto infinito não tem a mesma compreensividade que o sobreconjunto no qual ele está contido; mas pode ter a mesma cardinalidade que este. É o caso de conjuntos como o dos pares positivos, o dos ímpares positivos, o dos números quadrados, etc. Estes conjuntos são menos compreensivos do que o conjunto dos naturais; mas todos eles têm a mesma cardinalidade que o conjunto dos naturais. Aos conjuntos que têm a mesma cardinalidade que o conjunto dos naturais chama-se conjuntos 'denumeráveis' ou 'enumeráveis'.
V.2.4. A propriedade da densidade. Ao contrário dos conjuntos supracitados, o conjunto dos números racionais tem a propriedade de ser denso. Todavia, e aparências em contrário, o conjunto dos números racionais é, também ele, um conjunto denumerável. Demonstração de Cantor de que este é o caso.
V.2.5. Dada a demonstração de Cantor acima mencionada, coloca-se a seguinte questão: serão todos os conjuntos infinitos denumeráveis? Cantor respondeu negativamente a esta questão: há outras cardinalidades infinitas para além da cardinalidade denumerável. Demonstração de Cantor de que o conjunto dos reais positivos entre 0 e 1, tendo uma cardinalidade infinita, não tem, todavia, uma cardinalidade denumerável; caracterização desta cardinalidade como não-denumerável ou supra-enumerável.
V.3. A recta real
V.3.1. A base da geometria analítica é o estabelecimento de uma correspondência 1-1 entre os números reais e os pontos dos eixos coordenados no referencial cartesiano. Demonstração de que o número de pontos presente num intervalo linear finito de qualquer dimensão é igual ao número de pontos presente noutro intervalo linear finito de qualquer outra dimensão.
V.3.2. Demonstração de que o número de pontos presente num intervalo linear finito de qualquer dimensão é igual ao número de pontos presente na totalidade da recta real.
V.3.3. O contínuo (C) como o cardinal - distinto de, e superior a, aleph 0 - do conjunto dos números reais, da recta real e de um qualquer seu subconjunto representável por meio de um segmento linear.
V.3.4. A hipótese do contínuo: será o cardinal de C igual a aleph 1? Cantor estava convicto de que este seria o caso; mas não há uma demonstração desta hipótese.
V.4. Ordens
V.4.1. O conceito de uma ordem: uma ordem é uma propriedade de um conjunto M em associação com uma relação R; a conectividade, a irreflexividade e a transitividade como as propriedades que uma relação R tem que satisfazer para instituir uma ordem em M.
II. Paradoxos Dedutivos - 2
25 Fevereiro 2025, 15:00 • António José Teiga Zilhão
II. Solução aristotélica para os paradoxos de Zenão.
II.1. Introdução por Aristóteles da distinção entre dois conceitos distintos de infinito: infinito actual e infinito potencial. Caracterização de cada um deles.
II.2. Segundo Aristóteles, apenas um destes conceitos seria cientificamente legítimo - o do infinito potencial. Por sua vez, a admissão da existência de colecções actualmente infinitas seria cientificamente ilegítima.
II.3. O diagnóstico de Aristóteles acerca dos paradoxos de Zenão é, então, o de que os mesmos resultariam de Zenão ter assumido que o espaço e o tempo poderiam ser representados como colecções actualmente infinitas de elementos simples.
II.4. A implementação matemática moderna da solução aristotélica
II.4.1. A teoria das séries convergentes como base da resposta matemática moderna ao paradoxo de Aquiles e da Tartaruga e às duas versões do paradoxo da Dicotomia:
II.4.1.1. Definições de série, de limite e de soma de uma série convergente. Demonstração de que o resultado da soma da série convergente de distâncias que separam Aquiles da Tartaruga é igual ao valor da distância percorrida por ambos no ponto no qual Aquiles alcança a Tartaruga.
II.4.1.2. O movimento de um corpo no espaço ao longo do tempo concebido como uma relação de natureza funcional entre o conjunto de instantes que compõem o tempo e o conjunto de pontos que compõem uma trajectória no espaço, de tal modo que a cada instante corresponda uma e apenas uma posição nessa trajectória. Representação das trajectórias de Aquiles e da Tartaruga como conjuntos de pares ordenados de instantes e de posições.
II.4.1.3. Demonstração de que, sendo a velocidade de Aquiles superior à da Tartaruga, e partindo a Tartaruga com avanço em relação a Aquiles, há um único par ordenado comum aos dois conjuntos, o qual representa o ponto em que Aquiles alcança a Tartaruga.
III. A objecção de Black, Wisdom e Thomson à aplicabilidade física da resolução matemática moderna dos paradoxos de Zenão.
III.1. Segundo Black, Wisdom e Thomson a resolução matemática moderna do paradoxo é insatisfatória, uma vez que é necessário mostrar a aplicabilidade física da mesma, o que não é feito. Na realidade, o completamento por Aquiles de um qualquer segmento do seu percurso nos cenários descritos nos Paradoxos de Zenão pode, e deve, ser visto como o completamento de uma sucessão infinita de tarefas (como Zenão alegou), i.e., como o completamento de uma "super-tarefa". Mas o completamento de uma "super-tarefa" é uma contradição nos termos. Logo, a solução matemática moderna não tem aplicabilidade física.
III.2. Demonstração da tese exposta acima.: i) do ponto de vista físico, pode estabelecer-se uma analogia entre o conceito de 'completamento de uma "super-tarefa"' e a definição de 'estádio terminal de uma "máquina de infinitude"' (e.g., do candeeiro de Thomson); ii) mas a definição de 'estádio terminal de uma máquina de infinitude', do género do candeeiro de Thomson, é auto-contraditória; iii) logo, o conceito de completamento de uma "super-tarefa" também o é; iv) conclusão: o conceito do completamento por Aquiles de um qualquer segmento finito de um dos seus percursos é igualmente auto-contraditório e, portanto, fisicamente inaceitável.
IV. A resposta de Benacerraf ao argumento de Black, Wisdom e Thomson:
IV.1. A analogia estabelecida por Black, Wisdom e Thomson entre o completamento de um qualquer segmento finito da corrida de Aquiles e a definição de estádio terminal de uma máquina de infinitude do género do candeeiro de Thomson é improcedente. De facto, enquanto que este último caso nos coloca perante uma série oscilatória, o que temos no primeiro caso é uma série convergente; sendo verdade que não é de todo possível determinar qual seja o primeiro ponto que se obtém após o completamento de uma série oscilatória, o mesmo já não acontece no caso de uma série convergente - o primeiro ponto que se obtém após o completamento de uma série convergente é a soma da série, isto é, o limite da mesma quando n tende para infinito, como é fácil de mostrar.
IV.2. Conclusão de Benacerraf: a consideração de que o completamento por Aquiles de um qualquer segmento finito do seu percurso seria análogo à conclusão de uma super-tarefa (na acepção que Black, Wisdom e Thomson dão a este termo) é ilegítima; neste sentido, a objecção que estes autores apresentam de que a solução matemática modena para os Paradoxos de Zenão seria fisicamente inaplicável é improcedente.
II. Paradoxos Dedutivos - 1
21 Fevereiro 2025, 15:00 • António José Teiga Zilhão
I. Os Paradoxos de Zenão
I.1. Os paradoxos de Zenão acerca da impossibilidade do movimento, tal como expostos por Aristóteles na Metafísica:
I.1.1. Aquiles e a Tartaruga;
I.1.2.1 Versão 1
I.1.2.2. Versão 2
I.1.3. A Seta;
I.1.4. O Estádio.
I.2. Divisão destes paradoxos em dois grupos: a) o grupo daqueles que pretendem demonstrar a impossibilidade do movimento debaixo da suposição de que o espaço e/ou o tempo são contínuos (i.e., infinitamente divisíveis) - Aquiles e a Tartaruga e Dicotomia (1 e 2)); b) o grupo daqueles que pretendem demonstrar a impossibilidade do movimento debaixo da suposição de que o espaço e o tempo são discretos (i.e., têm uma estrutura atómica ou corpuscular, não sendo por isso infinitamente divisíveis) - Seta e Estádio.
I.3. Extracção da conclusão que se segue da análise dos paradoxos expostos em 2a) e 2b): se o espaço e/ou o tempo nem podem ser contínuos nem podem ser discretos, então não podem de todo ser representados como grandezas mensuráveis; nestas circunstâncias, o movimento, enquanto função do espaço e do tempo, torna-se incompreensível.
I. 4. O Paradoxo da Pluralidade, tal como exposto por Simplício (séc. VI AD) no seu comentário à Física de Aristóteles.
I.4.1. Descrição do paradoxo da pluralidade, tal como ele é atribuído a Zenão por Simplício.
I.4.1.1. Os dois axiomas que subjazem ao mesmo: Axioma 1- A soma de um número infinito de magnitudes positivas de igual dimensão, por muito pequenas que sejam, tem necessariamente que ser infinita; Axioma 2 - A soma de um qualquer número, finito ou infinito, de magnitudes sem dimensão tem necessariamente que ser nula.
I.4.1.2. Argumento: como qualquer pluralidade tem que ser formada a partir de elementos e como esses elementos têm que ser ou de dimensão positiva ou de dimensão nula, então, dada a possibilidade de dividir infinitamente uma qualquer dimensão real, tem que existir um número infinito de elementos na composição de uma qualquer pluralidade.
I.4.1.3. A conclusão paradoxal extraída por Zenão do seu argumento: como um número infinito de elementos de dimensão positiva gera um tamanho infinito (pelo Axioma 1) e um número infinito de elementos de dimensão nula gera uma dimensão nula (pelo Axioma 2), então, qualquer pluralidade ou é infinitamente grande, o que é impossível, ou é inexistente, o que é absurdo. Fica assim demonstrada, por redução ao absurdo, a impossibilidade da existência de qualquer pluralidade.
I. Introdução ao Programa da Cadeira
18 Fevereiro 2025, 15:00 • António José Teiga Zilhão
1. Definições fundamentais
1.1. Definição de 'paradoxo'.
1.2. Definição de 'antinomia'.
1.3. As antinomias como um subconjunto próprio dos paradoxos.
2. Distinção entre paradoxos genuínos e enigmas ou falácias.
2.1. Apresentação de dois exemplos de enigmas célebres.
2.1.1. O enigma do euro desaparecido.
2.1.2. O enigma da divisão escondida por zero.
2.2. Resolução de ambos os enigmas.
2.3. Elucidação da distinção entre paradoxos e enigmas ou falácias: enquanto que a dificuldade salientada nos enigmas ou falácias é uma dificuldade que radica na nossa aplicação (não obviamente deficiente) da teoria e não na teoria ela própria, a dificuldade salientada num paradoxo (se o mesmo for genuíno) radica na teoria ela própria e não na nossa aplicação da mesma.
3. Consequências teóricas dos paradoxos
3.1. A derivação, no âmbito de uma teoria, de um paradoxo que extraia uma conclusão contraditória das suas premissas trivializa a teoria.
3.1.1. A trivialização da teoria na qual se deixa formular um paradoxo que extraia uma conclusão contraditória das suas premissas resulta simplesmente da aplicação da regra ex falso quod libet ou explosão.
3.1.2. Justificação lógica da regra ex falso quod libet - derivação da mesma a partir das regras primitivas eliminação da conjunção, introdução da disjunção e silogismo disjuntivo.
4. Resolver um paradoxo é eliminá-lo. As quatro estratégias possíveis para fazê-lo:
4.1. Rejeitar a verdade de (pelo menos) uma premissa (i.e., o argumento que constitui o paradoxo, sendo válido, não seria um argumento sólido).
4.2. Rejeitar a validade do raciocínio (i.e. o argumento que constitui o paradoxo seria, de facto, uma falácia formal).
4.3. Rejeitar a paradoxalidade do (suposto) paradoxo (i.e. o argumento que constitui o suposto paradoxo não seria, na realidade, um paradoxo; ele constituiria apenas a derivação de uma conclusão surpreendente, mas não falsa nem contraditória, a partir das premissas).
4.4. Rejeitar a coerência de algum ou alguns dos conceitos envolvidos na formulação do paradoxo (i.e. o argumento que constitui o suposto paradoxo seria, de facto, uma falácia semântica).