Sumários
16 Abril 2026, 13:00
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António José Teiga Zilhão
Análise e discussão do ensaio de Gottlob Frege O que é uma função? ( Was ist eine Funktion?) de 1904 - 1
V.I. Pars destruens do ensaio. V.I.1. Frege começa por constatar que existiria, entre os matemáticos do seu tempo, uma flutuação semântica indesejável associada ao modo como o termo 'função' seria clarificado em Análise. V.I.2. Numa das versões mais correntes dessa clarificação, a noção de função seria feita depender de um entendimento associado ao uso do termo 'variável'. V.I.3. Objecções de Frege ao uso do termo 'variável' para clarificar a noção de função. V.I.3.1. Num primeiro entendimento do termo 'variável' este refere uma propriedade de objectos. V.I.3.1.1. Mas a propriedade referida por um tal termo remete para uma dimensão temporal; para que algo varie, é necessário que o faça no decurso do tempo; acontece que a Análise nada tem que ver com objectos inseridos numa dimensão temporal - os objectos da Análise são fixos, não mudam com o passar do tempo. V.I.3.1.2. Assim sendo, a concepção de que 'variável' seria um termo predicativo que indicaria uma propriedade de um objecto (um número), o qual tomaria uma nova propriedade (ser 'constante'), ao tomar valores num domínio de objectos, é inconsequente - não há números variáveis. I.3.2. Análise de um segundo entendimento de ´variável': a concepção de Czuber de que 'variável' seria um termo referencial que referiria um número indeterminado, o qual se tornaria determinado ao tomar valores num domínio de objectos. V.I.3.2.1. A análise de Czuber confunde as coisas com o modo de nos referirmos a elas - tal como não há números variáveis, tão-pouco há números (ou quaisquer outros objectos) indeterminados; o que há são modos indeterminados de indicarmos números (ou quaisquer outros objectos); i.e., a indeterminação reside no nosso modo de expressão e não nas coisas (os números) elas próprias. V.I.3.2.2. Além disso, a noção de que um número indeterminado se tornaria determinado ao tomar valores num domínio de objectos (números) parece supor que números são simultaneamente objectos (portadores de propriedades) e propriedades de objectos (propriedades dos portadores); mas isto é inconsequente.
14 Abril 2026, 13:00
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António José Teiga Zilhão
Análise e discussão do ensaio de Gottlob Frege Elucidação Crítica de Alguns Pontos nas Lições sobre a Álgebra da Lógica de Ernst Schroeder (Kritische Beleuchtung einiger Punkte in Ernst Schroeders Vorlesungen ueber die Algebra der Logik) de 1895 - 3
IV. 1. De acordo com a semântica clássica, tanto termos singulares como termos gerais seriam nomes, residindo a diferença entre uns e outros no facto de os primeiros serem nomes de objectos individuais (nomes próprios), enquanto que os segundos seriam nomes de agregados de objectos individuais (nomes comuns). Mas esta semântica, à qual Schroeder se mantém fiel, não permite uma apreensão adequada da natureza e do papel dos conceitos no pensamento. Do ponto de vista de Frege, conceitos são entidades ontologicamente distintas de objectos (são um tipo particular de funções ou entidades insaturadas), devendo, por isso, a semântica dos termos que os referem (os termos gerais) diferir em conformidade da semântica dos termos que referem objectos (os termos singulares). Mais em particular, os termos gerais não dispõem, por analogia com o caso dos termos singulares, de quaisquer “poderes de referência múltipla”. Mas, mesmo que dispusessem, tais poderes seriam impotentes para capturar tanto conceitos singulares como conceitos vazios. Sendo este o caso, as definições de 'domínio singular' e de 'domínio vazio' apresentadas por Schroeder, postulando a sua existência, são arbitrárias; as definições não podem criar por decreto num sistema o que os fundamentos desse sistema não permitem que exista nele.
IV.2. A questão da natureza dos conceitos. Algumas considerações acerca do chamado 'problema dos universais' no âmbito da filosofia tradicional - descrição das posições clássicas acerca deste tópico: realismo, nominalismo e conceptualismo. Caracterização de cada uma delas.
IV.3. A posição fregeana acerca de conceitos como uma posição realista.
IV.4. Mas como decidir entre estas posições de forma independente?
IV.4.1. Consideração de diferentes modos de exprimir a universalidade na linguagem natural por meio da associação dos termos gerais a distintas partículas de quantificação. Constatação de que o uso de algumas destas partículas (e.g., 'cada') sugerem uma semântica nominalista ou conceptualista da universalidade (uma vez que propiciam uma leitura distributivista da quantificação universal). Constatação de que o uso de outras destas partículas (e.g., 'o' associado a um termo geral) sugerem uma interpretação realista dos universais (uma vez que propiciam uma leitura prototipicista dos mesmos). Neste sentido, a análise do uso dos dispositivos de quantificação presentes na linguagem natural, só por si, não permite decidir entre as posições filosóficas rivais.
IV.4.2. Consideração do modo como a universalidade é expressa na Lógica de predicados. Os quantificadores e as regras para a sua introdução (IQU) e eliminação (EQU).
IV.4.3. Consideração, mais em particular, da regra IQU. Também esta admite tanto uma interpretação distributivista (nominalista) como uma interpretação prototipicista (realista). A primeira consiste numa leitura de IQU como uma extensão da regra da introdução da conjunção, da Lógica proposicional, ao caso da atribuição sequencial de uma propriedade aos diferentes objectos de um domínio, simultaneamente com a interpretação da quantificação universal como uma conjunção da atribuição dessa propriedade a todos os objectos do domínio. A segunda consiste numa leitura de IQU de acordo com o procedimento a que Aristóteles chamou 'abstracção' - isto é, seleccionar um objecto k do domínio como o representante de todos os objectos do domínio que satisfaçam uma determinada propriedade ou caiam sob um dado conceito P (a abstracção) e demonstrar acerca de k (o protótipo) o que se pretende demonstrar; desde que no processo de demonstração só se tenham tomado em consideração as propriedades que k tem em virtude de satisfazer P, ou cair sob P, pode considerar-se que o que foi demonstrado acerca de k (do protótipo) ficou demonstrado acerca de todos os objectos do domínio que satisfazem a propriedade P, ou caem sob o conceito P.
IV.4.4. Assim, tão-pouco a análise do sentido das regras da Lógica de Predicados para a introdução e eliminação de quantificadores nos fornece um critério que nos permita decidir categoricamente entre estas posições filosóficas rivais.
IV.4.5. Constatação de que a leitura distributivista (nominalista) e a leitura prototipicista (realista) dos universais podem não ser completamente congruentes na definição dos critérios de refutação de uma asserção universalmente quantificada.
IV.4.6.Mas tão-pouco esta constatação nos permite decidir categoricamente a favor ou contra qualquer uma das posições filosóficas rivais associadas a cada uma destas leituras.
9 Abril 2026, 13:00
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António José Teiga Zilhão
Análise e discussão do ensaio de Gottlob Frege Elucidação Crítica de Alguns Pontos nas Lições sobre a Álgebra da Lógica de Ernst Schroeder (Kritische Beleuchtung einiger Punkte in Ernst Schroeders Vorlesungen ueber die Algebra der Logik) de 1895 - 2
III. As inconsistências geradas no cálculo de Schroeder pelo facto de este não ter distinguido entre dois tipos fundamentais de relação - a relação que, na Teoria dos Conjuntos de Cantor, se denomina 'pertença', e que consiste na relação em que um elemento se encontra com o conjunto do qual ele é elemento, e a relação que, na Teoria dos Conjuntos de Cantor, se denomina 'inclusão', e que consiste na relação em que um conjunto N se encontra com outro conjunto M quando todos os elementos de N são também elementos de M (para designar a primeira destas relações Frege introduz o termo 'subter' e, para designar a segunda, ele introduz o termo 'sub'):
i) na ausência do estabelecimento desta distinção, para além de não ter os meios para distinguir entre a transitividade da inclusão e a intransitividade da pertença, Schroeder tão-pouco tem os meios para distinguir entre a propriedade que o conjunto vazio tem de ser subconjunto de qualquer conjunto ou classe e a propriedade que ele não tem de pertencer a todos os conjuntos ou classes.
ii) da representação do juízo universal afirmativo como uma relação de inclusão entre conjuntos ou extensões de conceitos, e da propriedade da relação de inclusão de que o conjunto vazio (ou extensão vazia) é subconjunto de qualquer conjunto, segue-se logicamente que é verdadeiro qualquer juízo universal afirmativo no qual nenhum objecto do domínio caia sob o conceito que ocorre no lugar do sujeito desse juízo (e.g., ‘Todos os objectos desiguais a si próprios são vermelhos’); sendo este o caso, a postulação por Schroeder de que o 'zero idêntico' teria que pertencer a todos os conjuntos (e, portanto, também ao das coisas vermelhas), além de geradora de inconsistências por si própria, é também irrelevante para a justificação da verdade de um tal juízo.
iii) entre as proposições aparentemente semelhantes de um ponto de vista gramatical que negam que algo exista, Schroeder não distingue convenientemente entre dois casos que necessitam de uma distinção cuidada. Trata-se do caso daquelas proposições que negam que um determinado termo singular tenha referência (e.g., ‘Sherlock Holmes não existe’) e do caso daquelas proposições que afirmam que nenhum objecto do domínio cai sob um determinado conceito (e.g., ‘Quadrados redondos não existem’). Com efeito, nomes sem referência são logicamente ilegítimos e não podem ser admitidos num simbolismo lógico adequado para dar conta do discurso com valor cognitivo; não sendo tais nomes admissíveis no simbolismo, não haveria qualquer oportunidade para formular neste asserções que negariam que os mesmos possuiriam referência; em contraste, conceitos vazios são perfeitamente legítimos de um ponto de vista lógico e não há qualquer razão para não serem representados num simbolismo adequado, capaz de dar conta do discurso com valor cognitivo. Em particular, e ao contrário do que Schroeder afirma, 'quadrado redondo' não é um nome de quaisquer objectos (que não existiriam).
7 Abril 2026, 13:00
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António José Teiga Zilhão
Análise e discussão do ensaio de Gottlob Frege Elucidação Crítica de Alguns Pontos nas Lições sobre a Álgebra da Lógica de Ernst Schroeder (Kritische Beleuchtung einiger Punkte in Ernst Schroeders Vorlesungen ueber die Algebra der Logik) de 1895 - 1
I. O cálculo de domínios de Schroeder - apresentação em traços gerais das ideias mais importantes que subjazem ao mesmo: o cálculo de domínios de Schroeder distingue-se tanto da Teoria dos Conjuntos de Cantor (domínios concebidos como agregados de partes regidos pela relação espacial parte/todo versus conjuntos concebidos como detentores de um estatuto ontológico próprio, distinto do dos seus elementos), como da Lógica de Predicados de Frege (domínios concebidos como agregados de partes regidos pela relação espacial parte/todo versus classes concebidas como extensões de conceitos, por sua vez distintas dos conceitos de que dependem). II. As dificuldades que se colocam a uma aplicação da estrutura formal subjacente ao cálculo de domínios de Schroeder para dar conta da Lógica: i) A relação primitiva do cálculo de domínios, a que Schroeder chama inclusão, é governada por axiomas que a definem como reflexiva e transitiva; mas esta relação pretende cobrir tanto os casos que, no âmbito da Teoria dos Conjuntos, designaríamos também como casos de inclusão, como também aqueles casos que designaríamos, no âmbito da Teoria dos Conjuntos, como pertença; mas a pertença nem é reflexiva nem é transitiva. ii) As operações elementares introduzidas por Schroeder no seu cálculo de domínios - a soma idêntica (união) e a multiplicação idêntica (intersecção) e a sua representação por meio de diagramas de Euler - não determinam como proceder quando a multiplicação idêntica (a intersecção) de dois domínios não tem elementos. iii) A introdução por Schroeder da noção de um domínio vazio (o 'zero idêntico') para responder a esta questão é incongruente com os seus próprios pressupostos; iv) Dada a sua definição de 'domínio' e de 'inclusão', Schroeder tão-pouco dispõe dos meios para distinguir um domínio singular do seu único elemento; v) Apesar de Schroeder considerar a Lógica como uma das aplicações possíveis do seu cálculo de domínios, não é manifestamente possível dar conta da estrutura interna dos juízos gerais da Lógica clássica interpretando a relação entre termos gerais neles estabelecida como um caso particular da relação espacial parte/todo regida pela definição de inclusão ou subsunção.
26 Março 2026, 13:00
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António José Teiga Zilhão
Análise e discussão do ensaio de Gottlob Frege Sobre Conceito e Objecto (Ueber Begriff und Gegenstand) de 1892 - 3
XI. Distinção entre um conceito aparecer como uma propriedade de um objecto, um conceito menos complexo aparecer como uma característica de um conceito mais complexo e um conceito (de 2ª ordem) aparecer como uma propriedade de um conceito (de 1ª ordem); distinção entre os usos distintos do verbo ser (predicação e subordinação ou inclusão) por meio dos quais cada um destes comportamentos de um conceito é expresso. XII. Segundo Frege, Kerry mostra-se incapaz de estabelecer três distinções essenciais, a saber: i) a distinção adequada entre os usos do verbo ser nos quais este surge como indicador de predicação e os usos do verbo ser nos quais este surge como indicador de subordinação ou inclusão; ii) a distinção entre sentido e denotação de uma expressão; iii) a distinção adequada entre os usos do verbo ser nos quais este surge como indicador de predicação e os usos do verbo ser nos quais este surge como indicador da relação de identidade. XIII. A irredutibilidade da insaturação: a proposta que pretende que os termos 'objecto' e 'conceito' nada mais significariam senão 'sujeito' e 'predicado' de uma frase declarativa categórica não teria como dar conta da relação de predicação ela própria, uma vez que, para que um qualquer juízo seja possível, é sempre necessário pressupor uma entidade insaturada que conecte as partes que o compõem umas com as outras. XIV. Conclusão do ensaio: para ver claro no âmbito da Semântica é necessário tanto reconhecer quais são as marcas que a estrutura lógica deixa na linguagem natural como também nunca perder de vista os modos como, mesmo assim, a linguagem natural pode constituir um obstáculo à expressão/compreensão da estrutura lógica requerida pelo Pensamento.