IX) Representação geométrica de funções como linhas num referencial cartesiano: cada ponto da linha (recta ou curva) representa um dos pares ordenados de argumentos e valores que constitui o curso de valores da função. X) Noção de curso de valores de uma função - o curso de valores de uma função é um objecto.  XI) Representação do curso de valores de uma função por meio de uma simbologia específica. XII) As funções são concebidas por Frege como entidades intrinsecamente intensionais; ao contrário da igualdade entre conjuntos e, por conseguinte, entre funções, no âmbito da Teoria dos Conjuntos de Georg Cantor, de acordo com a perspectiva de Frege, a igualdade ou identidade entre funções não se deixa elucidar extensionalmente como uma igualdade ou identidade entre os seus cursos de valores. XIII) Uma asserção de igualdade entre os cursos de valores de funções numéricas é uma proposição singular (de 1ª ordem), na qual a função (relacional) igualdade ou identidade é saturada por objectos (os cursos de valores das funções em causa), ou seja, uma tal asserção é uma proposição do género 'a=b'; ela é acerca de objectos e diz deles que são iguais ou o mesmo. XIV) Uma asserção que afirma de duas funções numéricas que elas originam os mesmos valores para os mesmos argumentos, quaisquer que estes sejam, é uma proposição geral, sujeita a quantificação universal, ou seja, é uma proposição na qual uma função de 2ª ordem (a universalidade) é saturada por uma função de 1ª ordem (uma igualdade ou identidade), a qual, por sua vez, é saturada pelos valores das funções numéricas em causa quando estas são saturadas pelos mesmos argumentos e tem valores de verdade como seus valores; uma tal asserção é acerca da função de 1ª ordem sobre a qual é predicada e diz dela que todos os objectos do domínio pertencem à sua extensão. XV) As duas direcções nas quais o pensamento matemático foi, ao longo do tempo, alargando a compreensão do campo ontológico regido por funções: i) primeira direcção: novas formas de cálculo passaram a ser entendidas também como funções; ii) segunda direcção: novos objectos passaram a ser considerados como sendo também susceptíveis de desempenhar o papel de argumentos e/ou valores de funções. XVI) Dois exemplos de i): a operação de passagem ao limite; a função de Dirichlet. XVII) Exemplo de ii): a inclusão no cálculo, como argumentos e valores de funções, de números complexos, isto é, números da forma a+bi, constituídos por uma parte real e por uma parte imaginária. XVIII) Novo alargamento deste movimento de pensamento proposto por Frege: as relações entre números (e.g., x=y, x>y, x<y) devem também ser apreendidas como um outro tipo de função, nomeadamente, como funções que tomam pares ou quaisquer outros n-tuplos ordenados de números como argumentos e que os correlacionam com um novo tipo de objecto como os seus valores - os valores de verdade, i.e., o Verdadeiro e o Falso. XIX) Mas a saturação com números de expressões funcionais contendo sinais relacionais gera frases declarativas relacionais. XX) Ora, se a denotação de uma expressão funcional numérica saturada é o valor (numérico) da função para o argumento que a satura, então a denotação de uma frase declarativa relacional deverá ser o valor da função relacional para o argumento que a satura, isto é, deverá ser o seu valor de verdade (i.e., o Verdadeiro ou o Falso). XXI) Deste modo, frases declarativas relacionais são nomes de valores de verdade. XXII) Neste sentido, uma frase de igualdade entre duas frases declarativas relacionais exprime uma igualdade entre objectos (i.e., é uma frase da forma 'a=b'), nomeadamente, entre os objectos que constituem as denotações das mesmas, os quais são valores de verdade; uma tal igualdade será, assim, ela própria, uma função relacional, a qual terá como argumento um par ordenado de valores de verdade e terá como valor um valor de verdade. XXIII) Mas, qualquer frase declarativa relacional numérica verdadeira pode ser apreendida como exprimindo a atribuição de uma propriedade a um número (e.g., a saturação da função relacional x.x=1 pelo argumento constituído pelo par ordenado (-1, -1), a qual tem como valor o Verdadeiro, pode ser lida como atribuindo ao número -1 a propriedade de, quando multiplicado por si próprio, ser igual a 1, etc.). XXIV) A constatação anterior tem um carácter geral; neste sentido, se, em Lógica, o que é predicado de um objecto como sua propriedade é um conceito, então somos levados a concluir que os conceitos são um tipo específico de função, nomeadamente, aquele tipo de função que toma objectos como seus argumentos e produz valores de verdade como seus valores. XXV) O curso de valores da função em que o conceito consiste constitui, então, a extensão desse conceito; logo, extensões de conceitos, qua cursos de valores de funções, são também objectos. XXVI) Introdução dos fundamentos do dualismo semântico - distinção entre denotação (Bedeutung) e sentido (Sinn); as frases declarativas categóricas denotam os seus valores de verdade, mas não os pensamentos (sentidos) que exprimem; em contrapartida, os pensamentos constituem o sentido das frases declarativas categóricas, mas não a sua denotação. XXVII) Exemplificação com o caso já considerado das frases relacionais de igualdade entre frases declarativas: elas indicam a igualdade das denotações das frases declarativas colocadas à esquerda e à direita do sinal de igual (i.e., a igualdade dos seus valores de verdade), mas não supõem a igualdade dos pensamentos ou sentidos expressos nessas frases (i.e., os modos por meio dos quais são capturados os objectos por elas denotados). XXVIII) De modo semelhante, uma frase relacional de igualdade em que o lugar dos relata é ocupado por nomes, descrições definidas ou outros termos singulares standard é uma frase que indica a igualdade dos objectos denotados pelos termos singulares em causa, mas não supõe a igualdade dos sentidos, pensamentos, ou modos de apresentação expressos nesses termos.