V. O que é uma função? - 1

19 Março 2024, 12:30 • António José Teiga Zilhão

Análise e discussão do ensaio de Gottlob Frege O que é uma função? ( Was ist eine Funktion?)  de 1904 - 1 

IV. Elucidação Crítica de Alguns Pontos nas Lições sobre a Álgebra da Lógica de Ernst Schroeder - 3

14 Março 2024, 09:30 • António José Teiga Zilhão

Análise e discussão do ensaio de Gottlob Frege Elucidação Crítica de Alguns Pontos nas Lições sobre a Álgebra da Lógica de Ernst Schroeder  (Kritische Beleuchtung einiger Punkte in Ernst Schroeders Vorlesungen ueber die Algebra der Logik) de 1895 - 3

V. Conclusão da crítica de Frege às Lições de Schroeder

V.1. Da representação do juízo universal afirmativo como uma relação de inclusão entre conjuntos ou extensões de conceitos, e da propriedade da relação de inclusão de que o conjunto vazio (ou extensão vazia) é subconjunto de qualquer conjunto, segue-se logicamente que é verdadeiro qualquer juízo universal afirmativo no qual nenhum objecto do domínio caia sob o conceito que ocorre no lugar do sujeito desse juízo (e.g., ‘Todos os objectos desiguais a si próprios são vermelhos’); sendo este o caso, a postulação por Schroeder de que o 'zero idêntico' pertenceria a todos os conjuntos (e, portanto, também ao das coisas vermelhas), além de geradora de inconsistências por si própria, é também irrelevante para a justificação da verdade de um tal juízo.

V.2. Entre as proposições aparentemente semelhantes de um ponto de vista gramatical que negam que algo exista, Schroeder não distingue convenientemente entre dois casos que necessitam de uma distinção cuidada. Trata-se do caso daquelas proposições que negam que um determinado termo singular tenha referência (e.g., ‘Sherlock Holmes não existe’) e do caso daquelas proposições que afirmam que nenhum objecto do domínio cai sob um determinado conceito (e.g., ‘Quadrados redondos não existem’). Com efeito, nomes sem referência são logicamente ilegítimos e não podem ser admitidos num simbolismo lógico adequado para dar conta do discurso com valor cognitivo; não sendo tais nomes admissíveis no simbolismo, não haveria qualquer oportunidade para formular neste asserções que negariam que os mesmos possuiriam referência; em contraste, conceitos vazios são perfeitamente legítimos de um ponto de vista lógico e não há qualquer razão para não serem representados num simbolismo adequado, capaz de dar conta do discurso com valor cognitivo. Em particular, 'quadrado redondo' não é um nome de quaisquer objectos (que não existiriam).

V.3. De acordo com a semântica clássica, tanto termos singulares como termos gerais seriam nomes, residindo a diferença entre uns e outros no facto de os primeiros serem nomes de objectos individuais (nomes próprios), enquanto que os segundos seriam nomes de agregados de objectos individuais (nomes comuns). Mas esta semântica, à qual Schroeder se mantém fiel, está errada - conceitos são entidades ontologicamente distintas de objectos (são um tipo particular de funções ou entidades insaturadas) e são estas entidades que são referidas pelos termos gerais; estes não dispõem, por isso, de quaisquer “poderes de referência múltipla”. Tais poderes seriam, mais em particular, completamente impotentes para capturar tanto conjuntos singulares como conjuntos vazios. Sendo este o caso, a definição apresentada por Schroeder postulando a sua existência é arbitrária; as definições não podem criar por decreto num sistema o que os fundamentos desse sistema não permitem que exista nele.

IV. Elucidação Crítica de Alguns Pontos nas Lições sobre a Álgebra da Lógica de Ernst Schroeder - 2

12 Março 2024, 12:30 • António José Teiga Zilhão

Análise e discussão do ensaio de Gottlob Frege Elucidação Crítica de Alguns Pontos nas Lições sobre a Álgebra da Lógica de Ernst Schroeder  (Kritische Beleuchtung einiger Punkte in Ernst Schroeders Vorlesungen ueber die Algebra der Logik) de 1895 - 2

IV. As inconsistências geradas no cálculo de Schroeder pelo facto de este não ter distinguido entre dois tipos fundamentais de relação - a relação que, na Teoria dos Conjuntos de Cantor, se denomina 'pertença', e que consiste na relação em que um elemento se encontra com o conjunto do qual ele é elemento, e a relação que, na Teoria dos Conjuntos de Cantor, se denomina 'inclusão', e que consiste na relação em que um conjunto N se encontra com outro conjunto M quando todos os elementos de N são também elementos de M (para designar a primeira destas relações Frege introduz o termo 'subter' e, para designar a segunda, ele introduz o termo 'sub'). Na ausência do estabelecimento desta distinção, Schroeder não tem os meios nem para distinguir entre a transitividade da inclusão e a intransitividade da pertença, nem para distinguir entre a propriedade que o conjunto vazio tem de ser subconjunto de qualquer conjunto ou classe e a propriedade que ele não tem de pertencer a todos os conjuntos ou classes. O não estabelecimento destas distinções dá então origem a diversas confusões das quais se seguem inconsistências e contradições, algumas das quais são exemplificadas pelo próprio Frege.

IV. Elucidação Crítica de alguns pontos nas Lições sobre a Álgebra da Lógica de Ernst Schroeder - 1

7 Março 2024, 09:30 • António José Teiga Zilhão

Análise e discussão do ensaio de Gottlob Frege Elucidação Crítica de Alguns Pontos nas Lições sobre a Álgebra da Lógica de Ernst Schroeder  (Kritische Beleuchtung einiger Punkte in Ernst Schroeders Vorlesungen ueber die Algebra der Logik) de 1895 - 1 

I. O cálculo de domínios de Schroeder - apresentação em traços gerais das ideias mais importantes que subjazem ao mesmo. II. Clarificação de alguns dos modos como o cálculo de domínios de Schroeder se distingue tanto da Teoria dos Conjuntos de Cantor (classes (domínios) concebidas como simples agregados de partes versus classes concebidas como conjuntos, detentores de um estatuto ontológico próprio), como da Lógica de Predicados de Frege (classes (domínios) concebidas como simples agregados de partes versus classes concebidas como extensões de conceitos). III. As dificuldades que se colocam a uma aplicação do cálculo de domínios de Schroeder para dar conta da Lógica: i) A relação primitiva deste cálculo, a que Schroeder chama inclusão, é governada por axiomas que a definem como reflexiva e transitiva; mas esta relação pretende cobrir tanto os casos que, no âmbito da Teoria dos Conjuntos, designaríamos também como casos de inclusão como aqueles casos que designaríamos como pertença; mas a pertença nem é reflexiva nem é transitiva. ii) Como proceder quando a intersecção (a 'multiplicação idêntica') de duas classes é vazia? A noção de uma classe vazia (o 'zero idêntico'), quando a mesma é concebida como um domínio, no sentido do termo usado por Schroeder, é incongruente; iii) Dada a sua definição de 'domínio' e de 'inclusão', Schroeder tão-pouco tem os meios para distinguir a classe singular do seu único elemento; iv) Apesar de Schroeder considerar a Lógica como uma das aplicações possíveis do seu cálculo de domínios, não é manifestamente possível dar conta da estrutura interna dos juízos gerais da Lógica clássica interpretando a relação entre termos gerais neles estabelecida como um caso particular da relação parte/todo.  

Gestão da Avaliação - 2

5 Março 2024, 12:30 • António José Teiga Zilhão

Conclusão da fixação dos temas e títulos dos ensaios finais, das elucidações metodológicas a respeito dos mesmos e da apresentação de indicações bibliográficas relevantes.