Sumários
4 Dezembro 2025, 11:00
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António José Teiga Zilhão
1. Teorias Bayesianas da Confirmação
1.1. Conceito de uma Teoria da Confirmação.
1.2. O Teorema de Bayes - enunciado e demonstração.
1.3. O Teorema de Bayes como peça central das Teorias Bayesianas da Confirmação.
1.4. Noções bayesianas de confirmação, respectivamente, desconfirmação: Confirmação: p(h|e)>p(h); desconfirmação: p(h|e)<p(h).
1.5. O carácter incremental e não absoluto dos conceitos bayesianos de confirmação e desconfirmação.
1.6.
Algumas medidas quantitativas de confirmação, respectivamente, desconfirmação,
de uma hipótese pela evidência: i) o incremento de probabilidade de uma
hipótese (p(h|e)-p(h); ii) o factor de probabilidade de uma hipótese (p(h|e)/p(e)).
1.7. Demonstração da igualdade entre o factor de probabilidade de uma hipótese e o factor de Bayes da mesma (i.e. demonstração de que p(h|e)/p(e) = p(e|h)/p(e)).
1.8.
A relação numérica entre o numerador e o denominador do factor de Bayes de uma hipótese permite capturar a
intuição generalizada de que uma nova hipótese é tanto melhor confirmada
pela evidência quanto mais inesperada e surpreendente a obtenção desta última for à luz das
hipóteses até então vigentes.
27 Novembro 2025, 11:00
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António José Teiga Zilhão
4. O conceito frequentista de probabilidade e algumas das críticas ao mesmo.
4.1. Caracterização matemática rigorosa da definição frequentista de
probabilidade de um evento (e.g., von Mises): a probabilidade de um
evento é o limite para o qual converge a frequência relativa com que
esse evento ocorre quando o número de instâncias do fenómeno de massa no
âmbito do qual ele é definido é concebido como tendendo para infinito.
4.2. Objecção 1: Incompletude. A
definição frequentista de probabilidade não cobre todos os usos do
conceito de probabilidade; não cobre, em particular, a noção de probabilidade indutiva, a qual mede a força de argumentos e não a frequência relativa com que eventos ocorrem no âmbito dos fenómenos de massa aos quais os mesmos são relativos.
4.2.1.
Aceitação desta objecção por Carnap. De facto, Carnap defende a tese de
que existiriam dois conceitos de probabilidade distintos e irredutíveis
um ao outro - o conceito de probabilidade1, de natureza lógico-epistémica (o conceito de probabilidade indutiva) e o conceito de probabilidade2, de natureza empírico-estatística (o conceito frequentista de probabilidade).
4.2.2.
A cisão do conceito de probabilidade em dois conceitos distintos e
irredutíveis é, todavia, considerada como insatisfatória por muitos
autores.
4.3. Objecção 2: Objecção do caso singular. De
acordo com a definição frequentista de probabilidade, é impossível
atribuir probabilidades a eventos singulares; mas isto parece ser
contra-intuitivo.
4.3.1. Resposta de von Mises a esta objecção: a objecção é
improcedente, uma vez que frases de atribuição de probabilidade a casos
singulares são frases sem sentido; a contra-intuitividade é irrelevante.
4.4. Objecção 3: Objecção da Impossibilidade de atribuição de conteúdo empírico a
frases de atribuição de probabilidade. De acordo com Hempel, se
quisermos ser coerentes com a definição frequentista de probabilidade,
não é de todo possível testar empiricamente a verdade ou falsidade de uma
qualquer frase de atribuição de probabilidade a um qualquer evento
definido no âmbito de um fenómeno de massa.
4.4.1.
Resposta de von Mises à objecção de Hempel. Von Mises apela para a noção de
idealização e para o estabelecimento de uma analogia entre frases de atribuição de probabilidade a eventos definidos no âmbito de fenómenos de massa e frases de aplicação de
conceitos geométricos a objectos e forças estudados pela Física.
4.4.2.
Contra-objecção de Hempel à resposta de von Mises. O apelo para o
conceito de idealização e o estabelecimento da analogia com a aplicação
de conceitos geométricos em Física são ambos falaciosos; logo, o
problema permanece.
5. Interpretações alternativas do conceito de probabilidade
5.1. A interpretação subjectivista (bayesiana) da probabilidade: a probabilidade concebida como um instrumento de medida numérica dos graus de crença de
um agente na verdade de uma frase ou proposição (e.g., Ramsey; de Finetti; Savage; Jeffrey).
5.1.1.
A concepção concomitante de acordo com a qual a função de probabilidade
opera sobre frases de uma linguagem proposicional L.
5.1.2.
Consequente abandono do recurso a uma ontologia conjuntista para a
representação do universo probabilístico. Rescrita dos axiomas e definições de
Kolmogorov e demonstração dos seus corolários e teoremas no âmbito de uma ontologia
de proposições ou frases e de operações verofuncionais (negação,
disjunção, conjunção, implicação e equivalência) sobre proposições ou
frases.
5.1.3.
Modo de determinar o grau de crença de um agente na verdade de uma
frase ou proposição a partir da análise do seu comportamento no âmbito
de um jogo de apostas e não da análise de o que quer que seja que ocorra
no fluxo da sua consciência.
5.1.4. O carácter unificador da interpretação subjectivista da probabilidade.
24 Novembro 2025, 11:00
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António José Teiga Zilhão
3.5. Probabilidade Condicional.
3.5.1. Definição de Probabilidade Condicional.
3.5.1.1. Distinção entre probabilidade condicional e probabilidade categórica.
3.5.1.2. Exemplos de aplicação do conceito de probabilidade condicional.
3.5.2. Definição de independência de um evento em relação a outro evento.
3.4.2.1. Demonstração de que o evento A é independente do evento B se, e somente se, o evento B for independente do evento A.
3.6. Probabilidade do evento intersecção de dois eventos.
3.6.1. Definição de probabilidade do evento intersecção de dois eventos.
3.6.1.1. Probabilidade do evento intersecção de dois eventos independentes.
3.6.2. Resolução de alguns exercícios de aplicação dos conceitos introduzidos.
20 Novembro 2025, 11:00
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António José Teiga Zilhão
3. O Cálculo de Probabilidades
3.1. Os Axiomas de Kolmogorov:
3.1.1. Axioma da Normalidade
3.1.2. Axioma da Certeza
3.1.3. Axioma da Aditividade.
3.2. Derivação dos primeiros corolários (C1 e C2) que podem obter-se a partir dos axiomas de Kolmogorov.
3.3. Demonstração de dois teoremas elementares (T1 e T2) que regulam os casos em que os eventos elementares são equiprováveis.3.3.1. T1 e T2 recolhem o essencial do conceito possibilista de
probabilidade de Pascal e Laplace, ao mesmo tempo que o integram no âmbito do
conceito frequentista de probabilidade.
3.4.
A motivação original subjacente ao desenvolvimento da concepção
pascaliana/laplaciana de probabilidade: a construção de uma teoria dos jogos de azar.
3.4.1. O Problema do Chevalier de Meré e sua
resolução por Pascal no séc. XVII.
17 Novembro 2025, 11:00
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António José Teiga Zilhão
1. Fenómenos Aleatórios e sua Representação na Teoria dos Conjuntos: Noções Elementares
1.1. O que é um fenómeno aleatório? Apresentação de alguns exemplos.
1.2.
Elementos fundamentais da ontologia subjacente a uma teoria conjuntista
desenvolvida para compreender fenómenos aleatórios: desfechos e eventos
(relativos a uma instância de um fenómeno aleatório).
1.3.
Desenvolvimento no âmbito da Teoria dos Conjuntos da teoria dos
fenómenos aleatórios. i) Relação de pertença entre desfechos e eventos.
ii) O conjunto espaço de eventos (relativo a um dado fenómeno
aleatório). iii) Eventos como subconjuntos do conjunto espaço de
eventos. iv) O conjunto-potência do conjunto espaço de eventos como o
conjunto de todos os eventos possíveis (relativamente a um dado fenómeno
aleatório). v) Eventos singulares ou elementares. vi) Evento
complementar ou contrário de um evento; vii) Evento união de dois
eventos; viii) Evento intersecção entre dois eventos. ix) Evento certo,
evento impossível e eventos disjuntos ou mutuamente incompatíveis.
2. Frequências: Noções Elementares
2.1. Séries de instâncias de um fenómeno aleatório estendidas no tempo.
2.2.
Frequência de um evento numa série de instâncias do fenómeno aleatório
ao qual ele é relativo: i) frequência absoluta do evento;
ii) frequência
relativa do evento.
2.3. A lei empírica do acaso ou lei dos grandes números.
2.4. Algumas propriedades notáveis das frequências relativas.
2.5. Noção frequentista de probabilidade.