Sumários
Discussão do texto 'On an Alleged Refutation of Hilbert's Program using Godel's First Incompleteness Theorem'+Mini-teste #5
18 Março 2024, 15:30 • Ricardo Santos
Discussão do texto de Detlefsen, com incidência particular nos seguintes tópicos: (1) Qual é a objeção ao Programa de Hilbert que parte do Primeiro Teorema da Incompletude? (2) Qual é a diferença entre a condição de conservação e a condição fraca de conservação, e porque é essa diferença relevante para a resposta de Detlefsen à objeção ao Programa de Hilbert que parte do Primeiro Teorema da Incompletude? (3) Porque pensa Detlefsen que a legitimidade de uma teoria não implica que ela é uma extensão conservativa? Em particular, qual a analogia e qual a diferença entre teorias empíricas e teorias matemáticas que justificam que legitimidade empírica implique conservação, pese embora legitimidade matemática não implique conservação? (4) Qual o argumento de Detlefsen para a tese que uma concepção construtivista do significado de frases reais não implica a sua decidibilidade através de meios finitários? (5) O que é a solidez real, e de que modo a adopção de solidez real como condição necessária e suficiente para legitimidade responde ao argumento a partir do Primeiro Teorema? (6) Será que o Finitismo, e o Programa de Hilbert, perdem o seu aspecto fundacionalista (epistémico) quando se troca conservação por solidez real como critério de legitimidade? E, se sim, é isso problemático para a teoria? De que forma?
Programa de Hilbert e Teoremas da Incompletude de Godel
13 Março 2024, 15:30 • Ricardo Santos
Apresentação do Programa de Hilbert. Apresentação do conteúdo do Primeiro Teorema de Godel e quais os principais resultados dos quais este é derivável: Lema da Diagonalização, representabilidade forte de provabilidade de uma fórmula por uma sequência de fórmulas, representabilidade fraca de provablidade de uma fórmula. Explicação de como o Primeiro Teorema de Godel parece contradizer o Finitismo Hilbertiano: nem toda a teoria matemática legítima é uma extensão conservativa da aritmética primitiva recursiva. Apresentação do Segundo Teorema de Godel. Apresentação das condições sobre demonstrabilidade requeridas para o Segundo Teorema e demonstração do Teorema a partir destas condições e do Primeiro Teorema. Explicação sobre como o Segundo Teorema de Godel parece colocar em causa o Programa de Hilbert: que uma teoria é consistente/uma extensão conservativa da aritmética primitiva recursiva não é demonstrável na aritmética primitiva recursiva.
Discussão do texto 'On the Infinite' + Mini-teste #4
11 Março 2024, 15:30 • Ricardo Santos
Discussão do texto 'On the Infinite' com incidência particular nos seguintes tópicos: (1) Quais as objeções de Hilbert à existência do infinitamente pequeno e do infinitamente grande no mundo físico, e na mente? (2) Que objetos são, segundo Hilbert, objeto de estudo da matemática? (3) O que são os elementos "ideais" de que Hilbert fala no contexto de teorias matemáticas? (4) O que entende Hilbert por 'afirmações finitárias', e porque são as regras lógicas para afirmações finitárias "complicadas"? (5) O que entende Hilbert por 'afirmações ideais', e porque razão são estas necessárias? (6) Porque pensa Hilbert que a formalização é necessária para a prática matemática? (7) A que tipo de expressões é, segundo Hilbert, a lógica diretamente aplicável, e porquê só a essas? (8) Que quer Hilbert dizer quando afirma que o problema da inconsistência da aritmética foi resolvido? E porque razão é importante resolvê-lo? (9) Há "ignorabimus" em matemática? Em que medida pode o método de "elementos ideais" ajudar a averiguar se assim é? (10) [Tópico bónus] O que são ordinais transfinitos?
Formalismo & Finitismo
6 Março 2024, 15:30 • Ricardo Santos
Apresentação do Formalismo de Termos e Formalismo de Jogos, razões a favor e razões contra. Breve apresentação sobre cardinalidade de conjuntos e teorema de Cantor. Apresentação das teses distintivas do Finitismo Hilbertiano, da teoria axiomática PRA, da noção de extensão conservativa, e da relação entre extensão conservativa e consistência.
Discussão do texto 'Finitary Upper Logicism' + Mini-teste #3
4 Março 2024, 15:30 • Ricardo Santos
Discussão do texto 'Finitary Upper Logicism' com incidência particular nos seguintes tópicos: (1) Como se deriva, em S5QL_C, que se plenitude finitária é verdadeira, então é necessariamente verdadeira? (2) De que modo os números recorrem ao longo da hierarquia de tipos? (3) objeção a logicismos baseado em teoria dos tipos: tais teorias são incapazes de dar conta da verdade de frases como 'o número de presidentes da República é idêntico ao número de números maiores que 0 e menores que 1; (4) resposta à objeção em (3) - admitir tipos cumulativos; (5) Números como termos individuals vs. números como determinantes, e concepção de determinantes como relações entre propriedades; (6) Falar de propriedades em lógica de primeira ordem: o predicado 'instancia', e o paradoxo de Russell para propriedades; (7) Condições de verdade de frases aritméticas de acordo com a Teoria Alternativa de Hodes: quantificação sobre funções de representação.