Sumários
NeoLogicismo Russellianismo
28 Fevereiro 2024, 15:30 • Ricardo Santos
Comparação inicial entre as teorias Fregeana, NeoFregeana, Russelliana e neoRusselliana. Apresentação da teoria dos tipos modal KQL_C: (i) tipos relacionais; (ii) operador de abstração; (iii) a lógica modal K - a lógica modal normal mais fraca; (iv) derivação do necessitismo acerca de indíviduos como motivação para a uma lógica quantificada livre; (v) derivação do necessitismo acerca de propriedades como motivação para um princípio de compreensão contingentista. Apresentação do princípio Plenitude Finitária e apresentação de alguns modelos que o satisfazem (em particular, clarificação que o princípio é consistente com a falsidade necessária do axioma do infinito). Apresentação do resultado que os teoremas da aritmética de Peano de Segunda-Ordem são todos deriváveis de KQL_C+FP. Breve discussão de como o resultado é uma melhoria relativamente ao resultado de Russell. Discussão breve de como os teoremas de Gödel podem ser vistos como colocando em causa o projecto logicista. Apresentação da teoria dos tipos modal e plural S5PQL_C: (i) axiomatização de S5 através dos axiomas (T) e (5); (ii) expressões plurais e predicados plurais; (iii) o predicado singular-plural 'um de'; (iv) princípio "pluralidades nada mais são que os seus membros". Apresentação do resultado que as traduções neoRussellianas das frases da aritmética de segunda-ordem são todas, se verdadeiras, necessariamente verdadeiras, e de como este resultado permite escapar à objeção de Gödel.
Discussão do texto 'Neo-Logicism and Russell's Logicism' + Mini-teste #2
26 Fevereiro 2024, 15:30 • Ricardo Santos
Discussão do texto 'Neo-Logicism and Russell's Logicism' com incidência particular nos seguintes tópicos: (1) em que medida são os números naturais, para Russell, ficções lógicas?; (2) De que modo escapa o Logicismo de Russell da objeção das más companhias? (princípios de abstração são acerca de funções proposicionais de tipo superior, cuja existência se segue trivialmente do axioma-esquema da compreensão); em que medida era o projecto logicista Russelliano um projecto de cariz metafísico, por oposição aos propósitos epistémicos dos logicismos Fregeano e neoFregeano (foco na idea que um dos propósitos do logicismo Russelliano seria o de dar conta das relações lógicas entre conceitos); (4) que respostas considera Klement à objeção que a posição de Russell não é uma forma de logicismo, na medida em que depende de um princípio não lógico (que há infinitas entidades de tipo 0) (discussão da tese se-entãoista, porque poderia Russell ser visto como um se-entãoista, e discussão da resposta segundo a qual não é um princípio aritmético que diferentes números possuem diferentes sucessores).
O logicismo de Russell
21 Fevereiro 2024, 15:30 • Ricardo Santos
Diagnóstico de Russell para o paradoxo: uso de definições impredicativas, que violam o Princípio do Círculo Vicioso. A segmentação do universo em tipos: indivíduos, classes de indivíduos, classes de classes de indivíduos, e assim por diante. Restrições impostas pela teoria de tipos. Simplificação da definição de número: o número de uma classe C definido como a classe das classes equinumerosas a C. Se C for uma classe de tipo 1, o seu número é de tipo 2. Definições do zero, um, dois, etc. A existência de um número dado está dependente de quantos indivíduos há no universo. A necessidade de um axioma da infinitude. Existência de diferentes números naturais para cada tipo. A ramificação dos tipos (em diferentes ordens ou níveis) como maneira de evitar a impredicatividade da definição de número natural. O axioma da redutibilidade. Demonstração dos postulados da aritmética de Peano. Análise comparativa das vantagens do logicismo russelliano e do neo-logicismo fregeano. A metodologia reconstrutiva de Russell e o propósito mais metafísico do que epistemológico do programa. Validação indutiva da correcção da análise proposta.
Discussão do texto 'Logicism in the XXI Century' + Mini-teste #1
19 Fevereiro 2024, 15:30 • Ricardo Santos
Em que consiste a posição neoFregeana. O que são conceitos categoriais? Em que consiste o Problema de César e como respondem Hale e Wright a este problema? (Critérios de identidade diferentes implicam critérios de aplicabilidade diferentes.) Em que consiste a posição das más companhias, e como respondem Hale e Wright à objeção? (Princípios de abstração fixam o significado de operadores de abstração somente se forem conservativos sobre uma teoria previamente aceite.) A posição de Hale & Wright acerca da objeção Quineana à tese que a lógica de segunda-ordem é realmente lógica (compromisso ontológico de frases da forma 'existe um conceito F tal que A(F)' estão comprometidas com a existência de conjuntos somente se alguma frase da forma 'A(F)' estiver já ela comprometida com a existência de conjuntos.)
O paradoxo de Russell; introdução ao neo-logicismo fregeano
14 Fevereiro 2024, 15:30 • Ricardo Santos
Frege e a teoria lógica das extensões. Que tipo de objecto é a extensão de um conceito? O princípio de que a extensão de F é idêntica à extensão de G quando os objectos que caem sob F e os objectos que caem sob G são os mesmos (Lei Fundamental V). Este princípio implica que todo o conceito tem uma extensão e conduz à contradição: a extensão do conceito ser russelliano é e não é russelliana (em que um objecto x é russelliano quando existe pelo menos um conceito F tal que x é a extensão de F e x não cai sob F). Explosão: de uma contradição tudo se segue.
Apresentação do Teorema de Frege, segundo o qual os axiomas da aritmética de Peano de segunda ordem são demonstráveis em segunda ordem a partir do Princípio de Hume. Equiconsistência da aritmética de Peano de segunda ordem com a lógica de segunda ordem+Princípio de Hume. Apresentação e discussão do neo-fregeanismo: i) o Princípio de Hume, não sendo uma verdade lógica, é analítico - servindo como uma definição contextual do operador 'número de', ao vermos factos acerca de identidades entre números como sendo nada mais, nada menos, que factos acerca de equinumerosidade; ii) concepção neo-fregeana de existência - para que um número exista, é suficiente que uma frase numérica na qual um termo singular numérico ocorre seja verdadeira; iii) explicação para o conhecimento da aritmética dada pelo neo-fregeanismo; iv) breve introdução à objeção das más companhias.