Sumários
17 Fevereiro 2023, 12:30
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António José Teiga Zilhão
O Paradoxo de Russell
1. O Axioma da Compreensão (irrestrito) da Teoria dos Conjuntos.
2. A possibilidade, autorizada pelo Axioma da Compreensão (irrestrito), de gerar o conjunto R cujos membros são aqueles conjuntos que não são membros de si próprios.
3. A legitimidade de perguntar acerca de R se R é ou não membro de si próprio.
4. Demonstração de que qualquer uma das respostas possíveis à pergunta acima gera uma contradição: se R for membro de si próprio, então não pode ser membro de si próprio; se R não for membro de si próprio, então tem que ser membro de si próprio.
5. O efeito que a descoberta do paradoxo de Russell teve no sistema de Frege e no seu programa logicista.
16 Fevereiro 2023, 09:30
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António José Teiga Zilhão
I. Paradoxos de Zenão - 5
Algumas Considerações sobre Cardinalidades Infinitas - 2
1. Demonstração de que o número de pontos presente num intervalo linear finito de qualquer dimensão é igual ao número de pontos presente noutro intervalo linear finito de qualquer outra dimensão.
2. Demonstração de que o número de pontos presente num intervalo linear finito de qualquer dimensão é igual ao número de pontos presente na totalidade da recta real.
3. O contínuo (C) como o cardinal - distinto de, e superior a, aleph 0 - da recta real e de um qualquer seu subconjunto representável por meio de um segmento linear.
4. O conceito de uma ordem: uma ordem como uma propriedade de um conjunto M em associação com uma relação R; a conectividade, a irreflexividade e a transitividade como as propriedades que R tem que ter para instituir uma ordem em M.
5. A ordem ómega, instituída pela relação 'x é menor que y' nos conjuntos dos inteiros, dos pares, dos quadrados, etc. A adjacência como uma das propriedades da ordem ómega.
6. A ordem eta, instituída pela relação 'x é menor que y' no conjunto dos racionais, ou em qualquer subconjunto aberto dos racionais. A densidade, mas não a adjacência, como uma das propriedades da ordem eta. Apesar da existência desta diferença fundamental nas propriedades de ómega e eta, tanto uma como outra são tipos de ordem de conjuntos denumeráveis (i.e., conjuntos cujo cardinal é aleph 0).
7. Sendo densa, ómega é, todavia, uma ordem densa com "buracos". A ordem densa dos reais (lambda), ou de um qualquer subconjunto aberto dos mesmos, é uma ordem densa sem "buracos", i.e., qualquer corte no conjunto dos reais identifica um elemento que ou é o maior de todos os que o precedem ou é o menor de todos os que lhe sucedem, mas não ambos, o que não acontece no caso do conjunto dos racionais, no qual o corte operado, e.g., no ponto raiz quadrada de 2 é tal que nem o subconjunto dos racionais que o precede tem um elemento maior nem o subconjunto dos racionais que lhe sucede tem um elemento menor.
8. Conclusão: uma compreensão completa dos paradoxos de Zenão sobre o movimento e a pluralidade supõe a compreensão da recta real como um contínuo linear com uma cardinalidade super-denumerável ou não-denumerável e uma ordenação densa sem "buracos".
II. Paradoxos da Teoria dos Conjuntos - 1
O Paradoxo de Cantor
1. O Axioma da Potência da Teoria dos Conjuntos
2. O Teorema de Cantor: o conjunto-potência P(M) de um qualquer conjunto M tem uma cardinalidade superior à de M. Demonstração.
3. Uma das consequências do Teorema de Cantor é a de que terão que existir muitos outros cardinais infinitos para além de aleph 0 e de C.
4. A identificação de C com o cardinal de P(N).
5. A Hipótese do Contínuo: será C=aleph 1?
6. O Paradoxo de Cantor: o cardinal de P(U) tem que ser superior ao cardinal de U (pelo Teorema de Cantor); o cardinal de P(U) não pode ser superior ao cardinal de U (pela definição de U).
7. Proposta de Cantor para resolver o paradoxo: i) introdução da distinção entre multiplicidades infinitas e multiplicidades infinitas absolutas; ii) defesa da tese de que, ao contrário das multiplicidades infinitas, as multiplicidades infinitas absolutas não poderiam ser elementos de conjuntos; iii) defesa da tese de que U seria uma multiplicidade infinita absoluta; iv) assim sendo, P(U) não poderia ser formado (uma vez que, caso pudesse, U teria que ser um dos seus elementos); v) em consequência, a geração do paradoxo ficaria bloqueada.
8. Considerações acerca da proposta de Cantor para resolver o Paradoxo: esta parece ser claramente ad hoc, uma vez que não parece existir qualquer outra motivação para a introdução da noção de uma multiplicidade infinita absoluta para além da necessidade de evitar o paradoxo.
10 Fevereiro 2023, 12:30
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António José Teiga Zilhão
Algumas Considerações sobre Cardinalidades Infinitas
1. Dois conjuntos têm a mesma cardinalidade se for possível estabelecer entre eles uma correspondência 1-1. Todos aqueles conjuntos que podem ser colocados numa correspondência 1-1 com o conjunto dos números naturais têm a mesma cardinalidade que o conjunto dos números naturais.
2. Distinção entre cardinalidade e compreensividade de um conjunto infinito; um subconjunto próprio infinito de um conjunto infinito não tem a mesma compreensividade que o sobreconjunto no qual ele está contido, mas pode ter a mesma cardinalidade que este.
É o caso de conjuntos como o conjunto dos pares positivos, o conjunto dos ímpares positivos, o conjunto dos números quadrados, etc. A todos estes conjuntos de cardinalidade infinita chama-se 'conjuntos denumeráveis'.
3. Ao contrário dos conjuntos supracitados, o conjunto dos números racionais tem a propriedade de ser denso. Demonstração de Cantor de que, aparências em contrário, o conjunto dos números racionais é, também ele, um conjunto denumerável.
4. Dada esta demonstração de Cantor, coloca-se a seguinte questão: serão todos os conjuntos infinitos denumeráveis? A resposta negativa de Cantor a esta questão: há outras cardinalidades infinitas para além da cardinalidade denumerável.
5. Demonstração de Cantor de que o conjunto dos reais positivos entre 0 e 1, tendo uma cardinalidade infinita, não é, todavia, denumerável; caracterização desta cardinalidade como não-denumerável ou supra-denumerável.
9 Fevereiro 2023, 09:30
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António José Teiga Zilhão
O paradoxo da pluralidade,
I. Descrição do paradoxo da pluralidade, tal como ele é atribuído a Zenão por Simplício. Os dois axiomas que subjazem ao mesmo: Axioma 1- A soma de um número infinito de magnitudes positivas de igual dimensão, por muito pequenas que sejam, tem necessariamente que ser infinita; Axioma 2 - A soma de um qualquer número, finito ou infinito, de magnitudes sem dimensão tem necessariamente que ser zero. Como qualquer pluralidade tem que ser formada a partir de elementos e como esses elementos têm que ser ou de dimensão positiva ou de dimensão nula, então, dada a possibilidade de dividir infinitamente qualquer dimensão real, tem que existir um número infinito de elementos na composição de qualquer pluralidade. A conclusão paradoxal de Zenão: como um número infinito de elementos de dimensão positiva gera um tamanho infinito (pelo Axioma 1) e um número infinito de elementos de dimensão nula gera uma dimensão nula (pelo Axioma 2), então, qualquer pluralidade ou é infinitamente grande, o que é impossível, ou é inexistente. Fica assim demonstrada, por redução ao absurdo, a impossibilidade da pluralidade.
II. Resolução do paradoxo da pluralidade. Como o Axioma 1 é indisputável, a resolução do paradoxo tem que ser alcançada mostrando como é possível, aparentemente contra o Axioma 2, ter-se uma definição métrica de comprimento que, sendo consistente, atribua, em simultâneo, a ausência de extensão aos pontos individuais, e comprimentos positivos finitos aos conjuntos de pontos que constituem um segmento linear finito. O recurso à Teoria dos Conjuntos de Cantor torna possível um tal desiderato. No âmbito desta, a extensão (ou a sua ausência) é uma propriedade de conjuntos de pontos e não dos seus elementos (os pontos); além disso, há que distinguir entre relações de inclusão (entre conjuntos) e relações de pertença (de elementos a conjuntos); conjuntos singulares de pontos são inextensos e estão contidos em conjuntos extensos (i.e., em conjuntos de pontos que constituem segmentos lineares finitos), mas não pertencem aos mesmos. Tanto a extensão como a cardinalidade são propriedades de conjuntos de pontos; mas nem a cardinalidade de um conjunto de pontos que constitui um segmento linear finito é uma função do seu comprimento, nem o seu comprimento é uma função da sua cardinalidade. Definição de comprimento de um segmento linear finito definido entre os pontos a e b do contínuo como o número que se obtém com a operação aritmética b-a. A cardinalidade do mesmo conjunto é, por sua vez, determinada pelos seus elementos (os pontos). Todavia, há que distinguir entre dois tipos de cardinalidade infinita: a cardinalidade infinita dos conjuntos denumeráveis e a cardinalidade infinita dos conjuntos não denumeráveis ou super-denumeráveis. A cardinalidade de qualquer segmento da recta real é a mesma que a da totalidade da recta real, i.e., é uma cardinalidade não-denumerável ou super-denumerável. Na realidade, para poderem ser formulados, os paradoxos de Zenão têm que supor um de dois pressupostos: ou que o contínuo é um conjunto infinito denumerável; ou que o conceito de uma soma aritmética tem aplicação no âmbito de conjuntos infinitos não denumeráveis ou supra-denumeráveis. Mas nenhum destes pressupostos é legítimo.
3 Fevereiro 2023, 12:30
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António José Teiga Zilhão
I. A objecção de Black, Wisdom e Thomson à resolução matemática standard dos paradoxos de Zenão.
I.1. Segundo Black, Wisdom e Thomson a resolução matemática standard do paradoxo é insatisfatória, uma vez que é necessário mostrar a aplicabilidade física da mesma, o que não é feito. Na realidade, o completamento por Aquiles de um qualquer segmento do seu percurso nos cenários descritos nos Paradoxos de Zenão pode, e deve, ser visto como o completamento de uma sucessão infinita de tarefas, i.e., como o completamento de uma "super-tarefa". Mas o completamento de uma "super-tarefa" é uma contradição nos termos. Logo, a solução matemática standard não tem aplicabilidade física.
I.2. Demonstração da tese exposta em I.1.: i) do ponto de vista físico, pode estabelecer-se uma analogia entre o conceito de 'completamento de uma "super-tarefa"' e a definição de 'estádio terminal de uma "máquina de infinitude"' (e.g., do candeeiro de Thomson); ii) mas a definição de 'estádio terminal de uma máquina de infinitude', do género do candeeiro de Thomson, é auto-contraditória; iii) logo, o conceito de completamento de uma "super-tarefa" também o é; iv) conclusão: o conceito do completamento por Aquiles de um qualquer segmento finito de um dos seus percursos é igualmente auto-contraditório e, portanto, fisicamente inaceitável.
II. A resposta de Benacerraf à objecção de Black, Wisdom e Thomson:
II.1. A analogia estabelecida por Black, Wisdom e Thomson entre o completamento de um qualquer segmento finito da corrida de Aquiles e a definição de estádio terminal de uma máquina de infinitude do género do candeeiro de Thomson é improcedente. De facto, enquanto que este último caso nos coloca perante uma série oscilatória, o que temos no primeiro caso é uma série convergente; sendo verdade que não é de todo possível determinar qual seja o primeiro ponto que se obtém após o completamento de uma série oscilatória, o mesmo já não acontece no caso de uma série convergente - o primeiro ponto que se obtém após o completamento de uma série convergente é a soma da série, isto é, o limite da mesma quando n tende para infinito, como é fácil de mostrar.
II.2. Conclusão de Benacerraf: a consideração de que o completamento por Aquiles de um qualquer segmento finito do seu percurso seria análogo à conclusão de uma super-tarefa (na acepção que Black, Wisdom e Thomson dão a este termo) é ilegítima; neste sentido, a objecção que estes autores apresentam de que a solução matemática standard para os Paradoxos de Zenão seria fisicamente inaplicável é improcedente.