II. Relações e Funções (continuação). 

II.2. Relações n-árias definidas numa classe A como subclasses de potências cartesianas de ordem n da classe A. A condição da funcionalidade. Funções como classes de pares ordenados que satisfazem a condição da funcionalidade. Conceitos de grafo, domínio, contradomínio, aplicação, sobrejecção, injecção e bijecção. 

II.3. Quando é que relações ou funções são conjuntos? i) demonstração de que é condição necessária e suficiente para que um produto cartesiano entre duas classes não vazias seja um conjunto que essas classes não vazias sejam conjuntos; ii) generalização (por indução matemática fraca) da demonstração anterior para o caso de qualquer produto cartesiano entre um qualquer número n de classes não vazias; iii) corolário da demonstração anterior: qualquer relação n-ária (com n>0) definida num conjunto M é, ela própria, um conjunto; iv) aplicação da demonstração i) ao caso das funções para demonstrar que é condição necessária e suficiente para que uma função f seja um conjunto que tanto o seu domínio como o seu contradomínio sejam conjuntos.  

II.4. Axioma da substituição.      

 

I.1. Relação de pertença, princípio da extensionalidade, definição de classe vazia, princípio da compreensão. I.2. As antinomias suscitadas pelo princípio da compreensão (Burali-Forti, Cantor, Russell, Berry e Grelling). Soluções possíveis para as antinomias: a) limitação de tamanho (Cantor);  b) exclusão de definições impredicativas (Russell). A solução vencedora: limitação de tamanho por meio de uma axiomática que impõe restrições ao princípio da compreensão (Zermelo).