Sumários
Infinito (2)
20 Novembro 2020, 08:00 • Ricardo Santos
Que coisas são finitas ou infinitas? Conjuntos (ou colecções de coisas). O tamanho, ou cardinalidade, de um conjunto. Correspondência um-para-um e equinumerosidade. O paradoxo de Galileu: correspondência 1-1 entre os números naturais e os seus quadrados; mas, aparentemente, o todo é sempre maior do que a parte (5º axioma de Euclides). Cantor toma o paradoxo como ponto de partida e define conjunto infinito como aquele que tem correspondência 1-1 com um subconjunto próprio. Propriedades curiosas dos conjuntos infinitos: o hotel de Hilbert. Serão todos os conjuntos infinitos do mesmo tamanho? Noção de infinito contável e prova de que os números racionais são contáveis. Prova por Cantor, pelo método da diagonalização, de que os números reais não são contáveis. A série dos cardinais infinitos. Descoberta de que a quantidade de pontos num espaço contínuo tridimensional é igual à quantidade de reais entre 0 e 1 (ou em qualquer outro intervalo finito). O paradoxo de Cantor.
Kant
19 Novembro 2020, 14:00 • Guiomar Mafalda Maia de Faria Blanc
O problema da metafísica.
Infinito (1)
19 Novembro 2020, 08:00 • Ricardo Santos
Introdução: a filosofia e o pensamento filosófico sobre o infinito. Anaximandro e o apeiron. Os pitagóricos contra o infinito. Aristóteles sobre o infinito: distinção entre infinito a respeito da adição e infinito a respeito da divisão; tese aristotélica de que o número é infinito só no primeiro sentido, o espaço é infinito só no segundo sentido (pois o mundo físico é uma esfera finita), mas o tempo é infinito em ambos os sentidos; a teoria de que todo o infinito é apenas potencial, e não há nenhum infinito actual.
Os paradoxos de Zenão contra o movimento. Exposição do argumento “Aquiles e a tartaruga”. O Aquiles é um ataque à visão do espaço e do tempo como contínuos. A densidade: a série dos números racionais é densa (entre dois números, há sempre outro), mas ainda assim contém falhas, pois há números que não estão nela incluídos. A descoberta grega da “incomensurabilidade da diagonal”. A continuidade requer mais do que densidade. A série dos números reais é contínua. Continuidade da linha geométrica e do espaço e tempo físicos. Outro paradoxo de Zenão: a Dicotomia, mais fundamental do que o Aquiles. A réplica de Aristóteles: para percorrer uma distância finita em extensão mas infinita a respeito da divisão, precisamos de um intervalo de tempo finito em extensão mas infinito em divisão, o que não é problemático. Nova versão do argumento, ignorando o tempo, e alegando que se uma distância é infinitamente divisível, então é infinitamente extensa. Somas com infinitas parcelas, sucessões e limites. Com a matemática apropriada, parte do paradoxo é resolvido: mostra-se que a distância total a percorrer é finita. Mas permanece uma dificuldade principal: como pode Aquiles chegar à meta, se tem para isso de passar por cada um dos infinitos pontos, até ao último? Parece ressurgir o infinito actual: além de infinitamente divisível, a distância teria de ser infinitamente dividida.
A metafísica cartesiana
16 Novembro 2020, 14:00 • Guiomar Mafalda Maia de Faria Blanc
O mecanismo e a reação vitalista de Leibniz. A substância como força viva e o finalismo da natureza.