Sumários
Reason, Agency and Obligation
22 Fevereiro 2022, 12:30 • António José Teiga Zilhão
Palestra do Prof. David Owens (King's College London - UK) subordinada ao título: 'Reason, Agency and Obligation'.
III. Paradoxos Semânticos
21 Fevereiro 2022, 11:00 • António José Teiga Zilhão
A. O Paradoxo do Mentiroso
2. Formulação moderna (e logicamente correcta) do paradoxo (É a frase P, tal que P = 'Esta frase é falsa', V ou F?) .
3. Os elementos essenciais que compõem a noção intuitiva de um predicado de verdade aplicado a frases de uma linguagem L capaz de exprimir uma sintaxe básica: i) a sua predicação a respeito de uma qualquer frase de L gera uma frase bem formada de L; ii) o seu comportamento deixa-se capturar pelo chamado 'esquema V', i.e., V('P') sss P; iii) o esquema V condensa duas regras, uma para a introdução, outra para a eliminação, do predicado de verdade - captura (se P, então V('P')) e soltura (se V('P'), então P).
4. Demonstração de como, a partir das características acima enunciadas do predicado de verdade e de regras lógicas muito básicas, o paradoxo do mentiroso se deixa inexoravelmente derivar.
5. Possibilidades alternativas de gerar o paradoxo sem recorrer a uma frase envolvendo auto-referência explícita (como P acima) mas, ainda assim, envolvendo algum tipo de circularidade: i) geração do paradoxo a partir de duas frases Q e R, a primeira das quais (Q) declara a verdade da segunda (R), e a segunda das quais (R) declara a falsidade da primeira (Q); ii) geração do paradoxo a partir de compostos booleanos, p. ex., de uma frase disjuntiva S cujo primeiro termo afirme a falsidade de S e cujo segundo termo constitua uma contradição manifesta.
6. A solução tarskiana para a resolução do paradoxo: construção de uma hierarquia de linguagens e metalinguagens tais que o primeiro nível da hierarquia (L0) não contenha qualquer predicado de verdade e que cada linguagem de nível n acima de 0 contenha um predicado de verdade cujo âmbito de aplicação sejam as frases da linguagem de nível n-1.
7. Demonstração de que, numa tal hierarquia, não é possível gerar o paradoxo do mentiroso.
II. Paradoxos da Teoria dos Conjuntos - 2
15 Fevereiro 2022, 12:30 • António José Teiga Zilhão
III. Paradoxo de Grelling
1. O paradoxo de Grelling como uma variante intensional do paradoxo de Russell.
2. Introdução dos predicados 'autológico' e 'heterológico' e do seu sentido;
3. A geração do paradoxo: será 'heterológico' autológico ou heterológico? Se 'heterológico' for autológico, então terá que ser heterológico; se 'heterológico' for heterológico, então terá que ser autológico.
4. Conclusão: o paradoxo de Grelling mostra que é possível gerar uma versão puramente intensional do paradoxo de Russell sem que, para o efeito, se faça apelo a quaisquer axiomas da Teoria dos Conjuntos e sem que sequer se recorra à noção de classe ou conjunto.
II. Paradoxos da Teoria dos Conjuntos - 1
14 Fevereiro 2022, 11:00 • António José Teiga Zilhão
I. Paradoxo de Cantor
A.
1. O Axioma da Potência da Teoria dos Conjuntos.
2. O Teorema de Cantor.
3. Consequências do Teorema de Cantor: para além dos cardinais infinitos aleph 0 e C, existem inúmeros outros cardinais infinitos.
4. A identidade entre C e o cardinal de P(N).
5. A Hipótese do Contínuo.
B.
1. O Paradoxo de Cantor: o cardinal de P(U) tem que ser superior ao cardinal de U (pelo Teorema de Cantor) e o cardinal de P(U) não pode ser superior ao cardinal de U (pela definição de U).
2. Proposta de Cantor para o resolver:
i) introdução da distinção entre multiplicidades infinitas e multiplicidades infinitas absolutas;
ii) defesa da tese de que, ao contrário das multiplicidades infinitas, as multiplicidades infinitas absolutas não poderiam ser elementos de conjuntos;
iii) defesa da tese de que U seria uma multiplicidade infinita absoluta;
iv) assim sendo, P(U) não poderia ser formado (uma vez que, caso pudesse, U teria que ser um dos seus elementos);
v) em consequência, a geração do paradoxo ficaria bloqueada.
3. Considerações acerca da proposta de resolução de Cantor: esta parece ser claramente ad hoc; não parece existir qualquer outra motivação para a introdução da noção de uma multiplicidade infinita absoluta para além da necessidade de evitar o paradoxo.
II. Paradoxo de Russell
1. O Axioma da Compreensão (irrestrito) da Teoria dos Conjuntos.
2. A possibilidade autorizada pelo Axioma da Compreensão (irrestrito) de gerar o conjunto R cujos membros são aqueles conjuntos que não são membros de si próprios e a legitimidade de perguntar acerca de R se este é ou não membro de si próprio.
3. Demonstração de que qualquer uma das respostas possíveis à pergunta acima gera uma contradição: se R for membro de si próprio, então não pode ser membro de si próprio; se R não for membro de si próprio, então tem que ser membro de si próprio.
4. O efeito que a descoberta do paradoxo de Russell teve no programa logicista de Frege.
5. Respostas ao paradoxo: i) A resposta de Russell - a teoria dos tipos; ii) A resposta de Zermelo - a eliminação do Axioma da Compreensão irrestrito e a introdução do Axioma da Extracção (Aussonderung).
6. Breve comentário a cada uma destas respostas.