Sumários
8 Fevereiro 2022, 12:30
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António José Teiga Zilhão
Cardinalidades infinitas
Dois conjuntos têm a mesma cardinalidade se for possível estabelecer entre eles uma correspondência 1-1. Todos aqueles conjuntos que podem ser colocados numa correspondência 1-1 com o conjunto dos números naturais têm a mesma cardinalidade que o conjunto dos números naturais. É o caso de conjuntos como o conjunto dos pares positivos, o conjunto dos ímpares positivos, o conjunto dos números quadrados, etc. A estes conjuntos de cardinalidade infinita chama-se 'conjuntos denumeráveis'. Demonstração de Cantor de que, aparências em contrário, o conjunto dos números racionais é também um conjunto denumerável.
Demonstração de que a cardinalidade dos números naturais não é a única cardinalidade infinita que existe. A demonstração procede por meio da exposição do seguinte elenco de demonstrações de Cantor: i) demonstração de que o conjunto dos reais entre 0 e 1, tendo uma cardinalidade infinita, não é denumerável; de um tal conjunto diz-se que ele é não denumerável ou supra-denumerável; ii) demonstração de que um qualquer segmento linear de comprimento finito tem a mesma cardinalidade que qualquer outro segmento linear de comprimento finito; iii) demonstração de que qualquer segmento linear de comprimento finito tem a mesma cardinalidade que o contínuo.
Conclusão: para além da cardinalidade infinita dos conjuntos denumeráveis (do conjunto dos naturais, do conjunto dos racionais, etc.) existe pelo menos uma outra cardinalidade infinita distinta desta: a cardinalidade infinita dos conjuntos não denumeráveis ou supra-denumeráveis (do conjunto dos reais (o Contínuo) ou de qualquer subconjunto deste que constitua um segmento linear de comprimento finito).
Conclusão: a compreensão da estrutura supra-denumerável do contínuo linear subjaz à resolução dos paradoxos de Zenão.
7 Fevereiro 2022, 11:00
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António José Teiga Zilhão
O paradoxo da pluralidade,
I. Descrição do paradoxo da pluralidade, tal como é atribuído a Zenão por Simplício. Os dois axiomas que subjazem ao mesmo: Axioma 1- A soma de um número infinito de magnitudes positivas de igual dimensão, por muito pequenas que sejam, tem necessariamente que ser infinita; Axioma 2 - A soma de um qualquer número, finito ou infinito, de magnitudes sem dimensão tem necessariamente que ser zero. Como qualquer pluralidade tem que ser formada a partir de elementos e como esses elementos têm que ser ou de dimensão positiva ou de dimensão nula, então, dada a possibilidade de dividir infinitamente qualquer dimensão real, tem que existir um número infinito de elementos na composição de qualquer pluralidade. A conclusão paradoxal de Zenão: como um número infinito de elementos de dimensão positiva gera um tamanho infinito (pelo Axioma 1) e um número infinito de elementos de dimensão nula gera uma dimensão nula (pelo Axioma 2), então, qualquer pluralidade ou é infinitamente grande, o que é impossível, ou é inexistente. Fica assim demonstrada, por redução ao absurdo, a impossibilidade da pluralidade.
II. A resolução do paradoxo. Como o Axioma 1 é indisputável, a resolução do paradoxo tem que ser alcançada mostrando como é possível, aparentemente contra o Axioma 2, ter-se uma definição métrica de comprimento que seja consistente e que atribua, em simultâneo, um comprimento zero a pontos individuais ou conjuntos singulares de pontos, e comprimentos positivos finitos às agregações desses pontos ou às uniões desses conjuntos singulares de pontos que constituem um segmento linear finito. O recurso à Teoria dos Conjuntos de Cantor torna possível um tal desiderato. No âmbito desta, a extensão (ou a sua ausência) é uma propriedade de conjuntos de pontos e não dos seus elementos; há que distinguir entre relações de inclusão (entre conjuntos) e relações de pertença (de elementos a conjuntos); conjuntos inextensos (i.e., conjuntos singulares de pontos) estão contidos em conjuntos extensos (i.e., conjuntos que constituem segmentos lineares finitos), mas não pertencem aos mesmos. Assim, nem a cardinalidade do conjunto de pontos que constitui um segmento linear é uma função do seu comprimento, nem o seu comprimento é uma função da sua cardinalidade. Há, todavia, que distinguir entre dois tipos de cardinalidade infinita: a cardinalidade infinita dos conjuntos denumeráveis e a cardinalidade infinita dos conjuntos não denumeráveis ou super-denumeráveis. Sendo a cardinalidade de qualquer segmento da recta real a mesma que a da totalidade da recta real, o conjunto de pontos que a constitui é não-denumerável ou super-denumerável. Ora, para poderem ser formulados, os paradoxos de Zenão têm que supor ou que o contínuo é um conjunto infinito denumerável ou que o conceito de uma soma aritmética tem aplicação no âmbito de conjuntos infinitos não denumeráveis ou supra-denumeráveis. Mas nenhuma destas suposições é legítima.
1 Fevereiro 2022, 12:30
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António José Teiga Zilhão
I. A abordagem de Black, Wisdom e Thomson aos paradoxos de Zenão.
I.1. A conclusão física do percurso por Aquiles, no Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga, pode ser vista como o completamento de uma "super-tarefa", isto é, o completamento de uma sucessão infinita de tarefas.
I.2. Pode estabelecer-se uma analogia entre o conceito de 'completamento de uma "super-tarefa"' e a definição do estádio terminal de uma "máquina de infinitude" (e.g., o candeeiro de Thomson).
I.3. Mas esta definição é auto-contraditória; logo, aquele conceito também o é.
I.4. Conclusão: a despeito da legitimidade matemática da solução standard para o Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga, a sua aplicação física carece de justificação.
II. Resposta de Benacerraf a Black, Wisdom e Thomson:
II.1. A analogia estabelecida entre o completamento da corrida de Aquiles e a definição do estádio terminal de uma máquina de infinitude como o candeeiro de Thomson é improcedente. De facto, enquanto que, neste último caso, estamos perante uma série oscilatória, no primeiro caso, o que temos é uma série convergente; e se é verdade que não é de todo possível determinar qual seja o primeiro ponto que se obtém após o completamento de uma série oscilatória, o mesmo já não acontece no caso de uma série convergente - o primeiro ponto que se obtém após o completamento de uma série com estas características é a soma da série, isto é, o limite da mesma quando n tende para infinito.
II.2. Conclusão de Benacerraf: não há assim qualquer razão para que não se aceite como válida a solução standard para o Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga.
31 Janeiro 2022, 11:00
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António José Teiga Zilhão
Os paradoxos de Zenão acerca da impossibilidade do movimento, tais como relatados por Aristóteles:
1) Aquiles e a Tartaruga;
2) A Dicotomia (versão 1 e versão 2); 3) A Seta;
4) O Estádio.
As definições matemáticas de série, limite e soma de uma série convergente como base da resposta matemática standard aos paradoxos de Zenão acerca da impossibilidade do movimento.
25 Janeiro 2022, 12:30
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António José Teiga Zilhão
Distinção entre paradoxos genuínos, por um lado, e enigmas e falácias informais, por outro lado. Apresentação de dois exemplos destas últimas: o enigma do euro desaparecido e a falácia da divisão escondida por zero. Enquanto que a dificuldade inerente a este tipo de problemas pode ser reconduzida à nossa dificuldade em lidar com o modo como a teoria representa o problema subjacente, modo esse que é, todavia, adequado, a dificuldade inerente aos paradoxos genuínos radica no modo como a teoria, ela própria, representa o problema subjacente.